Integrasjon ved substitusjon

[moth]

Jeg trenger litt hjelp til å løse dette integralet [tex]\int(\frac{1}{x^2+1})dx[/tex]

Jeg prøvde med delvis int, men det hjalp ikke noe særlig så då er det vel substitusjon som er tingen. Jeg prøvde dette

[tex]u=x^2+1[/tex]

[tex]\int(\frac{1}{u})dx[/tex]

Må jeg skrive det som [tex]\int(\frac{u-x^2}{u})dx[/tex]

Uansett, hva gjør jeg no? Jeg er ikke helt sikker på hvordan man bruker du og slikt, så er det noen som kan bare vise meg neste steg?

[Janhaa]

Trigonometrisk substitusjon; [tex]x=\tan\theta[/tex]

husker du ikke hva Jarle skreiv i forrige innlegg!

[tex]\theta = \arctan(x)[/tex]

[tex]dx= (1\,+\,\tan^2(\theta))\,d\theta[/tex]
slik at

[tex]I=\int \frac{dx}{1\,+\,x^2}=\int \frac{1+\tan^2(\theta)}{1+\tan^2(\theta)}\,d\theta=\int d\theta[/tex]

osv...

[moth]

Oi, jeg så ikke at det var samme oppgave jeg postet.

Men jeg skjønte ikke helt. Hvorfor blir [tex]dx=(1+tan^2(\theta))d\theta[/tex] ?

[Janhaa]

Oi, jeg så ikke at det var samme oppgave jeg postet.
Men jeg skjønte ikke helt. Hvorfor blir [tex]dx=(1+tan^2(\theta))d\theta[/tex] ?

OK, husker du den deriverte av tangens;

[tex](\tan(\theta))^,=\frac{1}{\cos^2(\theta)}=1+\tan^2(\theta)[/tex]

[moth]

Så dx blir den deriverte av substitusjonen til x?

[Charlatan]

Jeg misliker notasjonen [tex] \rm{d}u = h^\prime (x) \rm{d}x[/tex] fordi den er ugyldig, men har godtatt den siden det alltid gir riktig svar. Men nå ser det ut til at det forvirrer mer enn hjelper.

Du har integralet [tex]I=\int f(x) \rm{d}x[/tex].

Hvis du bruker en substitusjon [tex]u = g(x), [/tex] og deriverer: [tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=g^\prime (x) \Rightarrow \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \cdot \frac{1}{g^\prime(x)}=1[/tex]; så kan du gange inn dette i integranden fordi det er lik én.

Da får du [tex]I=\int \frac{f(x)}{g^\prime(x)} \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \rm{d}x[/tex]

Og bruker at [tex]\int h(u) u^\prime \rm{d}x = \int h(u) \rm{d}u[/tex], får du at [tex]I=\int \frac{f(x)}{g^\prime(x)} \rm{d}u[/tex]

Forhåpentligvis var substitusjonen gunstig slik at [tex]\frac{f(x)}{g^\prime(x)}[/tex] kan skrives som en enklere integrerbar funksjon av u.

Nå bør du skjønne hvorfor man må gange med [tex]\tan^2 \theta +1[/tex]

[moth]

Jeg misliker det og siden jeg ikke skjønner det helt, hehe.
Men det begynner å demre for meg no, takk for en god forklaring. Tror jeg må prøve meg på noen oppgaver og se om jeg kan komme til bunns i dette.

[moth]

No tror jeg jeg har forstått dette sånn noenlunde ihvertfall.

[tex]\int\frac{1}{x^2+1}dx[/tex]
[tex]x=tan\theta[/tex]

[tex]\theta=arctan(x)[/tex]

[tex]d\theta=\frac{1}{x^2+1}dx[/tex]
Så derfor blir integralet bare [tex]\int d\theta=\theta[/tex]
Jeg vet ikke helt om jeg skjønte det den andre veien. Blir det noe sånt:

[tex]\int\frac{1}{x^2+1}dx[/tex]
[tex]x=tan\theta[/tex]

[tex]dx=1+tan^2\theta[/tex]

[tex]\int\frac{1+tan^2\theta}{tan^2\theta+1}d\theta=\int d\theta=\theta[/tex]

Ser jo greit ut, men dette med trigonometrisk substitusjon er vel ikke så enkelt egentlig. F.eks. så visste jeg ikke sånn utenat at den deriverte av tan(x) var 1+tan^2(x) eller at den deriverte av arctan(x) var 1/(1+x^2) så då er det jo ikke så lett å se hva man skal gjøre. Er det rett og slett bare sånn at man må pugge de eller hva er en god måte å angripe et integral på hvis man ikke ser en åpenlys substitusjon?

[Charlatan]

Nei, hva er dette med at [tex]\rm{d}x = ...[/tex], denne notasjonen forvirrer mer enn den hjelper. Deriver med hensyn på x, og gjør videre som du pleier.

[moth]

Ok, då har jeg det tror jeg

[tex]\int\frac{1}{x^2+1}dx[/tex]

[tex]x=tan\theta[/tex]

[tex]\theta=arctan(x)[/tex]

[tex]\frac{d\theta}{dx}=\frac{1}{1+tan^2\theta}[/tex]

[tex]\frac{d\theta(1+tan^2\theta)}{dx}=1[/tex]

[tex]\int\frac{d\theta(1+tan^2\theta)}{(tan^2\theta+1)dx}dx=\int\frac{tan^2\theta+1}{tan^2\theta+1}d\theta=\int d\theta=\theta=arctan(x)[/tex]

Då skulle det vel stemme

Jeg har en oppgave til her: [tex]\int\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
Jeg har sett litt på derivasjonsidentiteter og lurer på om det stemmer at svaret blir 2arcsinh(x), eller bruker man ikke disse?

[moth]

Går det an å si som en regel at [tex]\int\frac{1}{ax}=\frac{ln(x)}{a}+C[/tex] ?

[Olorin]

Sant nok, men like trivielt som at [tex]\int cf(x)\rm{d}x=c\int{f(x)\rm{d}x[/tex] ettersom konstanter kan settes utenfor integralet

[moth]

Ja selvfølgelig fordi jeg kan skrive det som [tex]\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{x}[/tex]
Jeg satt å tenkte på hvordan jeg kunne gjøre det når den var i nevneren, men jeg kom ikke på noe, takk skal du ha