Oppgave 8.44:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\:\frac{sin^{4}x}{sin({x^4})}[/tex]
Prøver;
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\:\frac{sin^{4}x}{sin({x^4})}=\lim_{x\rightarrow0}\:\frac{4sin^{3}x \cdot cos x}{cos(x^4)\cdot 4x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\:\frac{cosx}{cosx^{(x^4)}}\cdot \frac{sin^{3}x}{x^3}[/tex]
Kan dette stemme? Og eventuelt kan noen vise hva som skjer videre til svaret?Hvis ikke så kan kanskje noen vise hele utregningen?
Grenseverdi
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Er bare å fortsette utregningene, hehe. Ser ut som at det leder frem til en relativt kjent grenseverdi, som er løst av l'Hopitals regel 
Da kommer jeg fram til ;
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\:\frac{sin^{4}x}{sin({x^4})}=\lim_{x\rightarrow0}\:\frac{4sin^{3}x \cdot cos x}{cos(x^4)\cdot 4x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\:\frac{cosx}{cosx^{(x^4)}}\cdot \frac{sin^{3}x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0} \: \frac{cosx}{cosx^{(x^4)}}\cdot \frac{sin^{3}x}{x^3}=1 \cdot \lim_{x\rightarrow 0}({\frac{sinx}{x}}\cdot {\frac{sinx}{x}} \cdot {\frac{sinx}{x}})= \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}} {\cdot}\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}} {\cdot}\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}}=1\cdot 1\cdot 1=1[/tex]
Fordi ;
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{cosx}{1}}=1[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\:\frac{sin^{4}x}{sin({x^4})}=\lim_{x\rightarrow0}\:\frac{4sin^{3}x \cdot cos x}{cos(x^4)\cdot 4x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\:\frac{cosx}{cosx^{(x^4)}}\cdot \frac{sin^{3}x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0} \: \frac{cosx}{cosx^{(x^4)}}\cdot \frac{sin^{3}x}{x^3}=1 \cdot \lim_{x\rightarrow 0}({\frac{sinx}{x}}\cdot {\frac{sinx}{x}} \cdot {\frac{sinx}{x}})= \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}} {\cdot}\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}} {\cdot}\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}}=1\cdot 1\cdot 1=1[/tex]
Fordi ;
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{cosx}{1}}=1[/tex]