Tre plan skjærer hverandre!

[mathme]

Tre plan [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] som skjærer hverandre langs en linje. Parameterframstillingen for denne linja, tenkte jeg å finne på den måten her:

retningsvektoren for linja må være [tex](a \times b) \times c[/tex] som gir retningsvektoren for en linje som sår vinkelrett på alle tre vektorene, deretter ville det være nok å finne et punkt på linja for å finne parameterframstillingen... men det viser seg at [tex](a \times b) \times c[/tex] er feil.. så hvordan regner man egentelig skjæringslinjen mellom tre plan ???

[espen180]

Husk at når tre plan skjærer hverandre i en linje, er alle tre normalvektorene i samme plan. Det du vil gjøre her er altså å finne en linje som er parallell med alle tre plan samtidig. Vi kaller normalvektoren til plan [tex]\Pi[/tex] (generelt) for [tex]\vec{N_\Pi}[/tex]. En måte du kan gjøre dette på er å finne [tex]\vec{N_a}\times\vec{N_b}=\vec{A} \, , \, \vec{N_b}\times\vec{N_c}=\vec{B} \, og \, \vec{N_c}\times\vec{N_a}=\vec{C}[/tex] og undersøke om [tex]\vec{A}=k\cdot\vec{B}=m\cdot\vec{C}[/tex]. Hvis det stemmer kan du finne retningsvektoren til krysningslinja og bruke et punkt på linja til å finne funksjonsuttrykket.

Fins kanskje lettere måter å gjøre dette på?

EDIT:
Sammendrag:
Hvis tre plan krysser i en linje, vil normalvektorene være i samme plan. Normalvekotren til dette planet vil være parallell med skjæringslinja til de tre planene.

[BMB]

Altså, du vil finne retningsvektoren til skjæringslinja mellom de tre planene. Retningsvektoren står ortogonalt på alle normalvektorene, ettersom den ligger i alle planene. Det er nok å ta kryssproduktet av to av normalvektorene for å finne en retningsvektor for linja. Denne vektoren står også vinkelrett på den tredje normalvektoren (verifiser).

Deretter finner du et punkt på linja, altså et punkt som passer inn i alle tre planligningene. Det klarer du sikkert.

[mathme]

Akkuratt ja Det var da to flotte måter man kan få gjort dette på. Slik som BMB sier må jo være den enkelste da, (kryssprodukt er noe stress å finne) hehe, men da finner man kryssproduktet for to av normalene, og ganger den med den tredje normalen, hvis man får 0, da er kryssproduktet mellom to av normalene en retningsvektor for linja ! Fantastisk

[espen180]

da finner man kryssproduktet for to av normalene, og ganger den med den tredje normalen, hvis man får 0, da er kryssproduktet mellom to av normalene en retningsvektor for linja ! Fantastisk

Er det trippelprodukt du snakker om her?

[mathme]

da finner man kryssproduktet for to av normalene, og ganger den med den tredje normalen, hvis man får 0, da er kryssproduktet mellom to av normalene en retningsvektor for linja ! Fantastisk

Er det trippelprodukt du snakker om her?

Absolutt ikke, for det blir jo helt galt, har jeg forstått.
Det er kryssproduktet mellom to av normalvektorene som sjekkes mot den tredje jeg snakker om

[BMB]

Bare for å klarifisere; vi trenger ikke å sjekke at retningsvektoren for linja står normalt på den tredje normalvektoren hvis det står i oppgaven at planene skjærer hverandre langs ei linje. Hvis tre plan skjærer hverandre langs ei linje, så må nødvendigvis skjæringslinja mellom to av planene være den samme som skjæringslinja mellom alle planene. Menmen, tar jo bare to sekunder å sjekke det uansett. =)

En vanskeligere oppgave hadde for eksempel vært: Her har du ligningen for tre plan. Bestem om planene skjærer hverandre eller ikke, og bestem eventuelt hvordan de skjærer hverandre. Den er litt tricky, men selvsagt fullt løselig.

[espen180]

En vanskeligere oppgave hadde for eksempel vært: Her har du ligningen for tre plan. Bestem om planene skjærer hverandre eller ikke, og bestem eventuelt hvordan de skjærer hverandre. Den er litt tricky, men selvsagt fullt løselig.

Så vidt jeg vet kan man bruke linær algebra her. Vi setter Ligningssettet til de tre planene som AX=B og sjekker determinanten til A. Om determinanten til A blir 0, finnes det enten ingen eller uendelig av løsninger. Jeg vet derimot ikke hvordan vi sjekker om planene krysser hverandre i en linje, et plan eller ikke i det hele tatt, man jeg vet at hvis det ikke finnes noen løsning vil vi ende opp med 0=0 om vi prøver å løse lingningssettet.

[mathme]

Bare for å klarifisere; vi trenger ikke å sjekke at retningsvektoren for linja står normalt på den tredje normalvektoren hvis det står i oppgaven at planene skjærer hverandre langs ei linje. Hvis tre plan skjærer hverandre langs ei linje, så må nødvendigvis skjæringslinja mellom to av planene være den samme som skjæringslinja mellom alle planene. Menmen, tar jo bare to sekunder å sjekke det uansett. =)

En vanskeligere oppgave hadde for eksempel vært: Her har du ligningen for tre plan. Bestem om planene skjærer hverandre eller ikke, og bestem eventuelt hvordan de skjærer hverandre. Den er litt tricky, men selvsagt fullt løselig.

Jeg tor jeg løste en lignende oppgave!!
Jeg hadde tre likninger og tre ukjente... så fant jeg x y og z, som så ut til å være skjæringspunktet mellom alle linjene... altså HVIS det finnes en løsning for x y og z, så skjærer de hverandre i ET punkt... hvis ikke skjærer de hverandre langs ei linje... Altså for tre plan har vi generelt dette:

1: To og to av planene skjærer hverandre langs en rett linje men det tredje er paralell med og ikke sammenfallende med denne linja...

2: Hvert plan inneholder skjæringslinja for de andre planene.. da har planene uendelig mange fellespunkter.

3: Tre plan har bare et fellespunkt..

Men som du sier, det er litt tricky å finne ut hvordan de skjærer hverandre.. men i tilfelle 2 og 3 kan vi vel utnytte tre likninger med tre ukjente... tenker jeg riktig ? Da kan vi finne et punkt hvor de skjærer hverandre... men jeg vvet ikke hvordan vi skal finne om det er 2 eller 3 som gjelder for de tre ukjente som vi løser da... det tror jeg espen har løsningen på Men jeg er ikke kommet så langt

[BMB]

Så vidt jeg vet kan man bruke linær algebra her. Vi setter Ligningssettet til de tre planene som AX=B og sjekker determinanten til A. Om determinanten til A blir 0, finnes det enten ingen eller uendelig av løsninger. Jeg vet derimot ikke hvordan vi sjekker om planene krysser hverandre i en linje, et plan eller ikke i det hele tatt, man jeg vet at hvis det ikke finnes noen løsning vil vi ende opp med 0=0 om vi prøver å løse lingningssettet.

Ja, ikke at jeg så godt kjent med lineær algebra, men å evaluere determinanten burde funke. Det har seg slik at hvis ingen av tre plan er parallelle med hverandre, så skjærer de enten hverandre langs tre linjer, langs ei linje eller i ett punkt, som Mathme skriver. Det er jo lett å sjekke om planene er parallelle; hvis de ikke er det og du sjekker determinanten og får den lik 0, så har ligningssystemet uendelig mange løsninger, og det er klart at planene skjærer hverandre langs linje(r). Er determinanten ulik 0, så skjærer planene hverandre i ett punkt.

En annen måte å regne på er å evaluere trippelproduktet av normalvektorene (er det som foreslås i R2-boka).

[mathme]

Hadde vært takknemmelig om dere forklarte hva "evaluere trippelproduktet av normalvektorene" betyr, eller gi meg et sidetall i R1 boka som innholder en forklaring på det! Føler jeg ikke har vært bort i det

Edit: mente R2 boka!

[espen180]

Her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

Ha det gøy. Wiki har en tendens til å uttrykke ting litt komplisert. Denne er dog ikke så gæli.

EDIT:

Men saken er at om trippelproduktet blir null skjærer planene enten i en linje eller ikke i det hele tatt.

[mathme]

Her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

Ha det gøy. Wiki har en tendens til å uttrykke ting litt komplisert. Denne er dog ikke så gæli.

EDIT:

Men saken er at om trippelproduktet blir null skjærer planene enten i en linje eller ikke i det hele tatt.

Tusen takk espen, du er konge
Skal slippe løs på trippelprodukt i kveld, det kommer til å bli en mad fight