Logaritme til negative tall

[moth]

Kan noen se over dette, jeg skjønner ikke hva jeg gjør feil

[tex]-e^{i\pi}=1[/tex]

[tex]ln(-e^{i\pi})=0[/tex]

[tex]ln(e^{i\pi})+i\pi=0[/tex]

[tex]2i\pi=0[/tex]

Man kan vel ikke si at [tex]ln(-a^x)=x ln(-a)[/tex] heller. Hvordan blir det?

[Vektormannen]

Nei, det kan man vel ikke uten videre si (med mindre a er negativ og x ikke er et partall (eller noe sånt)). Men hva går oppgava ut på?

[Charlatan]

Nå må du nok heller se på hva slags lineær form [tex]e^{ix}[/tex] har
( [tex]a+bi[/tex] ).
Det er ingen unik konstant k slik at [tex]e^k=-1[/tex], så du kan ikke unikt bestemme [tex]\ln(-1)[/tex].

[Karl_Erik]

Jeg er ikke helt sikker på dette selv, så ta det jeg sier med en klype salt. Jeg tror den 'feilen' du gjør er å anta at den naturlige logaritmen fort kan anta flere verdier med komplekse tall. Når man tar logaritmen til et reelt tall over null antar man naturligvis at det bare finnes en verdi. Slik er det tydeligvis egentli ikke. Alle tall uendelig mange logaritmer på omtrent samme måte som alle vinkler kan skrives på uendelig mange måter. ([tex]e^{i\pi} = e^{3i\pi}[/tex] osv) Grovt sagt kan vi si at når du trykker på "ln"-knappen på kalkulatoren din velger kalkulatoren ganske enkelt den eneste reelle logaritmen. Når vi vil ta logaritmen av komplekse eller negative tall er det dog ingen enkel regel vi kan bruke til å velge en bestemt logaritme. Om du er interessert i dette står det mer på denne Wikipedia-artikkelen. Som sagt går dette langt over hodet på meg, så helt sikker på at noen kan/burde rette på meg og presisere en del ting.

[moth]

Tusen takk for alle svar, det er tydeligvis ikke så lett dette her. Mener du at alle tall har flere logaritmer med samme base? Jeg skal ihvertfall lese gjennom den wiki-artikkelen, virket veldig interresant.

[moth]

Tror jeg fant ut hva som var feil med ligningen min. Tydeligvis kan ln(-1) bli enten positiv eller negativ. Hvis jeg setter inn [tex]ln(-1)=-i\pi[/tex] så blir det jo riktig.
Men hvordan kan man se om det blir negativt eller positivt? Hvis jeg gjør f.eks. sånn:

[tex]e^{i\pi}=-1[/tex]

[tex]i\pi=ln(-1)[/tex]

[tex]\pi=\frac{ln(-1)}{i}[/tex]

No stemmer det kun for [tex]ln(-1)=+i\pi[/tex] Noen som har noen ide om hvorfor og hvordan man kan finne ut om det blir positivt eller negativt?

PS: Hvordan bruker man [tex]i[/tex] i GeoGebra? Er det mulig?

[arildno]

La z være et komplekst tall.
Da kan det skrives, med x, y to reelle tall, som:
[tex]z=e^{x+iy}[/tex]
Dermed burde log(z)=x+iy, ikke sant?
Det er imidlertid ikke så enkelt, fordi z kan OGSÅ skrives som:
[tex]z=e^{x+iy+ik2\pi}[/tex], hvor k er et VILKÅRLIG VALGT heltall!
Dermed finnes det uendelig mange logaritmer til z,
for enkelthets skyld:
[tex]log(z)=x+iy+ik2\pi[/tex] hvor hver k-verdi gir en ny logaritme til z

[Gnome]

Du kan jo skrive det komplekse tallet på formen (cos [symbol:pi] + isin ([symbol:pi] )

Legg merke til den imaginære delen faller bort ettersom sin [symbol:pi] = 0. Da står du igjen med cos [symbol:pi] som er -1, men siden e'en i utgangspunktet hadde minus som fortegn, blir det -(-1) = 1.

Det eksisterer ingen naturlige logaritmer til negative tall, det er ikke så veldig mye å finne ut av.

[moth]

Ok, så [tex]-e^{i\pi}=-(cos(\pi)+i sin(\pi))[/tex] Da skjønner jeg isåfall.

Er det noen som vet hvordan man bruker [tex]i[/tex] i GeoGebra, finner ikke ut av det.