Vektor: Alvorlig problem!

[mathme]

Dette er krise, jeg får feil på en oppgave som jeg ikke bør få feil på (prøve i morgen)... oppgava går slik:

En rett linje går gjennom D=(3,10,4) og er paralell med planet x+4y-3z-5, og skjærer z aksen i punktet P. Finn koordinatene til P.


Jeg tenker først at jeg må ha en parameterframstilling for linja.
Retningsvektoren til linja er vinkelrett på normalvektoren til planet [1,4,-3].

[tex][1,4,-3] \cdot [a,b,c] = 0[/tex]

jeg velger:

a=4
b=2
c=4

Det gir parameterframstillingen:

x= 3+4t
y=10+2t
z=4+4t

Jeg finner på samme måte en parameterframstilling for z aksen:
(0,0,1) er et punkt, og [0,0,1] er retningsvektoren for z-aksen, så jeg får parameterframstillingen:

x=0
y=0
z=1+s

Så bruker jeg skjæringen mellom to linjer:

3+4t=0
10+2t=0
4+4t=1+s

Det gir jo t= -5 oh S = 3-20 = -17

Jeg sjekker det mot tredje og ser at linja ikke skjærer z-asken :S Hvordan i alle dager er det mulig ?

Hva gjør jeg feil ? Håper noen hjelper meg i kveld..

[Thales]

Trodde vi var i høstferien

[mathme]

Trodde vi var i høstferien

Hehe, det er nok det for deg, men ikke for meg! Jeg hadde høstferie for en uke siden jeg

[Vektormannen]

Det du gjør feil er at du går ut i fra at vektoren [4,2,4] vil være parallell med linja som er beskrevet i oppgaven. Det stemmer ikke (tydeligvis, du kunne jo ha vært heldig da). [4,2,4] er bare en av mange vektorer som, sammen med en annen ikkeparallell vektor, kan beskrive planet.

Oppgaven kan løses enklere uten å blande inn parameterframstilling av linjer. Ta utgangspunkt i det du vet. Du vet to punkt på linja, D(3,10,4) og P(0,0,x). Kan du finne et uttrykk for vektoren mellom disse to punktene? Hva vet du om denne vektoren og planets normalvektor?

[mathme]

Det du gjør feil er at du går ut i fra at vektoren [4,2,4] vil være parallell med linja som er beskrevet i oppgaven. Det stemmer ikke. [4,2,4] er bare en av mange vektorer som, sammen med en annen ikkeparallell vektor, kan beskrive planet.

VEKTORMANNEN <3333

Den kan beskrive planet ? Hvordan kan [4,2,4] beskrive planet ? Det er jo en retningsvektor til linja.. mener du på den måten at kryssproduktet mellom denne vektoren og en annen ikke paralellvektor som også står vinkelrett på normalvektoren ?

Jeg forstår, altså denne retningsvektoren til linja, som jeg har funnet, er kunn paralell med planet, og sier meg ingenting om retningsvektoren til linja i oppgava, ettersom det jeg har funnet kan ligge hvor som helst, bare at den er paralell med planet!

Oppgaven kan løses enklere uten å blande inn linjer. Ta utgangspunkt i det du vet. Du vet to punkt på linja, D(3,10,4) og P(0,0,x). Kan du finne et uttrykk for vektoren mellom disse to punktene? Hva vet du om denne vektoren og planet?

Først må jeg si TUSEN TAKK!
btw: dette var en eksamensoppgave fra 3MN ifra 1995.

[tex]\vec{DP} = [-3,-10,x-4][/tex]

[tex]\vec{DP} \cdot \vec{n} = 0[/tex]

[tex][-3,-10,x-4] \cdot [1,4,-3] = 0[/tex]

[tex]-3-40-3(x-4) = 0[/tex]

[tex]-43-3x+12=0[/tex]

[tex]x= \frac{-31}{3}[/tex]


[tex]P=(0,0,\frac{-31}{3})[/tex]

Hva hadde jeg gjort uten deg ?

[mathme]

Hvis jeg hadde fått parameterframstillingen for linja på forhånd, kunne jeg bruke den metoden jeg viste i begynnelsen?

Hvis jeg skal finne skjæringen mellom:

[x,y,z] = [-6,2,3]+t[2,2,1] og y-asken.

Da kunne jeg trygt lage en parameterfranstilling for y-aksen som selvfølgelig er:

x=0
y=1+s
z=0

Nå ser jeg jo at t-verdiene stemmer, og det samme gjør det med skjæringen... altså skjæringen blir i dette tilfellet (0,8,0).. ikke sant ?

-Nå har jeg fått oppgitt hva som er riktig retning for linja oppgava snakker om..

[Vektormannen]

Jeg kan forklare litt mer detaljert. Husk at et plan også kan fremstilles på parameterform. Da trenger man et punkt i planet og to vektorer som er parallelle med planet. Det er kryssproduktet av disse man tar for å finne normalvektoren man bruker i en ligningsframstilling.

Tingen her er at det er uendelig mange vektorer som kan beskrive det samme planet. Her er en dårlig tegning for å illustrere:



Vektorene som ligger i en sirkelformasjon i planet, er alle parallelle med det, og et hvert par av dem, som ikke er parallelle med hverandre, vil kunne brukes i en parameterframstilling av planet. Det du har gjort, er å finne én slik vektor. Men som du ser er det langt fra alle som er parallelle med linja (det er bare den røde og den som går motsatt vei av den). Du har altså funnet en av de andre vektorene. Denne vil være retningsvektor for ei linje som er parallell med planet -- men -- den vil ikke nødvendigvis ha samme retning som vektoren mellom D og P!

[mathme]

Nå fikk jeg en fantastisk svar på det jeg lurte på

Jeg vet ikke hvordan jeg skal takke deg Vektor!