Tredjegradslikning

[tmsn]

Noen som vet hvordan jeg kan løse:

-2x^3 + 6x^2 -2x + 6 = 0 ?

[arildno]

Noen som vet hvordan jeg kan løse:

-2x^3 + 6x^2 -2x + 6 = 0 ?

Tja, først kan vi dele alle ledd med -2
Da får vi:
[tex]x^{3}-3x^{2}+x-3=0[/tex]
Tenk så på et generelt faktorisert tredjegradsuttrykk:
[tex](x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})[/tex]
Konstantleddet når du ganger ut må nødvendigvis være
[tex]-x_{1}*x_{2}*x_{3}[/tex]

I vårt tilfelle er er konstantleddet -3.

Derfor, hvis vi skal lete etter HELTALLSLØSNINGER, så kan vi bare bruke:
[tex]\pm{1},\pm{3}[/tex] som mulige nullpunkter.
Så er det bare å prøve ut disse!
Kan 1 være nullpunkt?
Vi får ^[tex]1^3-3*1^2+1-3=-4[/tex]
så den funker ikke.
Tilsvarende funker ikke -1 eller -3.
Men 3 går:
[tex]3^3-3*3^2+3-3=0[/tex]

Derfor er x=3 et nullpunkt.

Vi ser at vi kan faktorisere slik:
[tex]x^{3}-3x^{2}+x-3=x^{2}(x-3)+(x-3)=(x^{2}+1)(x-3)[/tex]
Fordi andregradsfaktoren ikke har reelle nullpunkter, er eneste løsning for reell x, x=3.