Grenseverdier

[Ginace]

Ok, vet ikke helt hvordan jeg skal skrive dette,
men prøver:

Jeg skal finne grenseverdien:

[tex]\lim_{x\to\1} \frac{x-1}{5x^2-5}[/tex]

Jeg får svaret [tex]\frac{1-1}{10}[/tex]
Er det riktig eller hva gjør jeg galt?

[Vektormannen]

Jeg går ut i fra at du mener [tex]\lim_{x \to 1} \ \frac{x-1}{5x^2-5}[/tex]. I såfall får du et 0/0-uttrykk når du setter inn 1. Det betyr at teller og nevner går mot 0 samtidig, og det kan være en felles faktor. Prøv å faktorisere nevneren og se om du kan stryke noe mot telleren. Deretter prøver du å sette inn 1.

[Ginace]

Hvis jeg tar:

[tex]\frac{(x-1)(x+1)}{5(x-1)(x+1)}[/tex]

og stryker (x-1) oppe og nede, får jeg [tex]\frac{1}{3}[/tex] når jeg setter inn x=1

Blir det riktig?

[Vektormannen]

Hvordan fikk du (x+1) i telleren? Du skal stå igjen med [tex]\frac{1}{5(x+1)}[/tex] og da får du ikke 1/3 når du setter inn 1 for x...

[Ginace]

Jeg trodde jeg måtte sette x+1 oppe også, slik at det ikke ble 0 oppe (1-1=0)? Er ikke noe mattegeni, jeg... Men skjønner at det ikke blir 3 i nevner, det blir vel 10?

[Vektormannen]

Jepp. Grenseverdien er altså 1/10.

[Ginace]

Sikkert et dumt spørsmål, men jeg skjønner fortsatt ikke hvordan det blir 1 i teller?

[Vektormannen]

Vi skal finne grenseverdien [tex]\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{5x^2 - 5}[/tex]. Ved insetting av 1 får vi 0/0. Det er et udefinert uttrykk, og siden telleren og nevneren blir 0 samtidig betyr det at det må være en felles faktor som kan kortes bort uten at brøken forandrer seg. Dette finner vi ut av ved å faktorisere:

[tex]\frac{x-1}{5x^2 - 5} = \frac{x - 1}{5(x-1)(x+1)}[/tex]

Vi korter x-1 i telleren med x-1 i nevneren (det er denne faktoren som gjør at vi får 0/0 når vi setter inn 1.) Da står vi igjen med [tex]\lim_{x \to 1} \frac{1}{5(x+1)} = \frac{1}{5(1+1)} = \frac{1}{10}[/tex]

[Ginace]

Ah, ok. Takk!

[Ginace]

f(-1) er vel ikke mulig å finne, for da blir vel svaret 1/0, som ikke går an.... eller?

(Jeg skal finne om mulig: f(-1) og [tex]\lim_{x\to\(-1)} f(x)[/tex])

[Vektormannen]

Stemmer det, f(-1) er ikke definert, men grenseverdien eksisterer.

[Ginace]

Ok, takk igjen=)