Komplekse tall på polarform

[sveioen]

Har et problem med å få et komplekst tall på kartesisk form, over på polarform.

Et eksempel er det komplekse tallet $z=4-4i$.
Å finne modulus er greit, $\rho =\sqrt{4^2+(-4{)}^2}=\sqrt{32}$. Argument, $\cos \theta =\frac{4}{\sqrt{32}}\text{,}\sin \theta =\frac{-4}{\sqrt{32}}$. Men hvordan går jeg nå frem for å finne $\theta$? I dette eksempelet er $\theta =\frac{7\pi }{4}$, men hvordan har de kommet fram til dette tallet?

[Vektormannen]

$\frac{4}{\sqrt{32}}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Dette er en eksaktverdi for sinus og cosinus som du bør kunne. Det er eksaktverdien for sin og cos av 45 grader. Tegn deg opp en enhetssirkel så ser du at vinkelen med $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ og $\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ befinner seg i fjerde kvadrant og danner 45 grader med x-aksen. Du ser sikkert da at denne må være $\frac{7\pi }{4}$?

[sveioen]

Hva med et utrolig stygt uttrykk som

$\rho =\sqrt{0.125}\text{, }\cos \theta =\frac{0.75}{\sqrt{0.125}}\text{, }\sin \theta =\frac{{\left(\frac{\sqrt{1.75}}{2}\right)}^2}{\sqrt{0.125}}$?

Er det i det hele tatt mulig å få dette som en "pen" vinkel? I så fall, hvordan?

[mrcreosote]

Her har du kølla, både cos og sin til theta er større enn 1. Et godt råd: Kvitt deg med alt av desimaltall, sånt skaper bare problemer. Brøker er lettere å holde styr på.

[sveioen]

Hadde gjort et par tabber ja.. Prøver igjen! Jeg har:

$\frac{1,5\pm \sqrt{-1,75}}{2}$ som gir røttene $r=\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{-1,75}}{2}i$.

Finner modulus, $\rho =\sqrt{(\frac{3}{4}{)}^2+(\frac{\sqrt{1,75}}{2}{)}^2}$ som gir $\rho =1$. Stemmer det så langt?

Finner så argumentet, $\cos \theta =\frac{3/4}{1}=\frac{3}{4}\text{, }\sin \theta =\frac{\sqrt{1,75}/2}{1}=\frac{\sqrt{1,75}}{2}$. Dette gir ${\cos }^{-1}\theta ={\sin }^{-1}\theta =0.7227342478$. Argumentet er altså [symbol:tilnaermet] 0.72? Hvordan kan jeg finne denne verdien uttrykt ved en fin $\pi$-brøk (hvis det er mulig)?

Hvordan vet jeg om det er den positive eller negative verdien av $i$ jeg skal bruke (pga. $\pm$ i rotutrykket)?

Takker for hjelp!

[sveioen]

Ingen?

[tisstrange]

Hvis du har $\pm$ i oppgaven, så har du jo to tall, $\frac{3}{4}+\sqrt{\frac{7}{16}}$ og $\frac{3}{4}-\sqrt{\frac{7}{16}}$, så du velger begge (først den første, også den andre).
Uansett så får du samme modulus (den fant du riktig), så det gjelder bare vinkelen.

Du kan ikke alltid finne en brøk med pi i seg, ikke alle vinkler kan uttrykkes sånn. Men du ser at, for + tilfellet, så er cos $\theta$ mellom $\frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\frac{\sqrt{3}}{2}$ og sin$\theta$ er positiv, så vinkelen er mellom $\frac{\pi }{6}$ og $\frac{\pi }{4}$...

Så du kan jo bare tenke deg resten...