Ikke Baltic way for vgs

[Janhaa]

løs likningssystemet

[tex]3x^2\,-\,4xy\,+\,2y^2\,=\,6\,\,\wedge \,\,x^2\,-\,y^2\,=\,-5[/tex]

[Zivert]

Haha... Er ikke dette en av årets Baltic Way oppgaver?

[BMB]

løs likningssystemet

[tex]3x^2\,-\,4xy\,+\,2y^2\,=\,6\,\,\wedge \,\,x^2\,-\,y^2\,=\,-5[/tex]

Kan ta løsningen når x og y er hele tall.


[tex]x^2-y^2=(x+y)(x-y)=-5[/tex]

Dette gir de mulige løsningene for (x,y): (-2,-3), (-2,3), (2,-3), (-2,-3).

[tex]3x^2-4xy\,+2y^2=6[/tex]

[tex]3 \cdot 4-4xy+2 \cdot 9=6[/tex]

[tex]-4xy=-24[/tex]

[tex]xy=6[/tex]

Dette betyr at de eneste løsningene for (x,y) er (-2,-3) og (2,3).

[moth]

Jeg prøvde noe, men jeg aner ikke om det blir riktig
Faktoriserer først begge ligningene

[tex]\frac{1}{2}x^2+(x-y)^2=3[/tex]

[tex](x-y)(x+y)=-5[/tex]

Finner et uttrykk for (x-y) i hver ligning og setter de lik hverandre

[tex](x-y)=\frac{3-\frac{1}{2}x^2}{x-y}[/tex]

[tex](x-y)=\frac{-5}{x+y}[/tex]

[tex]\frac{3-\frac{1}{2}x^2}{x-y}=\frac{-5}{x+y}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2y-8x-8y=0[/tex]

Edit: måtte fikse en feil og plutselig så det ikke så greit ut lenger

[moth]

Ok, prøver på nytt
Finner et uttrykk for x^2 isteden:

[tex]x^2=-5+y^2[/tex]

[tex]x^2=\frac{6+4xy-2y^2}{3}[/tex]

Altså er:

[tex]-5+y^2=\frac{6+4xy-2y^2}{3}[/tex]

[tex]x=\frac{-21+5y^2}{4y}[/tex]

Setter det inn i en av ligningene:

[tex](\frac{-21+5y^2}{4y})^2-y^2=-5[/tex]

[tex]3(\frac{-21+5y^2}{4y})^2-4(\frac{-21+5y^2}{4y})y+2y^2=6[/tex]

Har ikke lyst å regne ut noen av de og jeg tror ikke det blir riktig uansett

[Thales]

[tex](\frac{-21+5y^2}{4y})^2-y^2=-5[/tex]

Løser:

[tex](\frac{-21+5y^2}{4y})^2-y^2=-5\\\frac{(-21+5y^2)^2}{(4y)^2}-y^2=-5\\\frac{(-21)^2+(5y^2)^2+2\cdot (-21)\cdot 5y}{16y^2}-y^2=-5\\\frac{(441+25y^4-210y^2)}{\cancel{(16y^2)}}\cdot{\cancel{(16y^2)}}-y^2\cdot{(16y^2)}=-5\cdot{(16y^2)}\\441+25y^4-210y^2-16y^4=-80y^2\\441+9y^4-130y^2=0[/tex]

Setter inn [tex]u=y^2:[/tex]

[tex]9u^2-130u+441=0[/tex]

Løser med andre grads likniningen=

[tex]u=\frac{-(-130)\pm\sqrt{130^2-4\cdot 441 \cdot 9}}{2\cdot18}\Rightarrow u=\frac{130\pm\sqrt{16900-15879}}{18}\Rightarrow \\u=\frac{130\pm\sqrt{1034}}{18}\Rightarrow u=\frac{130\pm32}{19}\Rightarrow \\u_1=\frac{130+32}{18} \Rightarrow u=\frac{162}{18}=9=u_1\\u_2=\frac{130-32}{18} \Rightarrow u=\frac{98}{18}=\frac{49}{9}=u_2\\u=y^2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{u}\\y_1=\sqrt{9}=\b{\pm3=y_1}\\y_2=\sqrt{\frac{49}{9}}=\pm{\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}=\b{\pm{\frac{7}{3}=y_2}\\[/tex]

Setter [tex]y_1[/tex] inn i likningen:

[tex]x^2-y^2=-5\\x^2-9=-5\\x=\pm\sqrt{-5+9} \Rightarrow x=\pm2[/tex]

Setter [tex]y_2[/tex] inn i likningen:

[tex]x^2-y^2=-5\\x^2-\frac{49}{9}=-5\\x=\pm\sqrt{-5+\frac{49}{9}} \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{-45+49}{9}}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{4}{9}}\Rightarrow x=\pm\frac{2}3[/tex]

Dette gir oss løsningene:

[tex]x=2 \ y=3 \ \vee \ x=-2 \ y=-3 \ \vee \ x=\frac{2}3 \ y=\frac{7}{3} \ \vee \ x=-\frac{2}3 \ y=-\frac{7}{3}[/tex]

[mrcreosote]

Prøver vi å eliminere konstantledda, får vi: [tex]5(3x^2-4xy+2y^2)=30=-6(x^2-y^2)[/tex], så [tex]21x^2-20xy+4y^2=(3x-2y)(7x-2y)=0[/tex].

[moth]

Nice Thales, bra jobbet
Så det funker å gjøre det slik altså.