Å derivere en sirkel

[espen180]

Vi har sirkelen $x^2+y^2=1$ og vil derivere denne. Jeg har lest at den deriverte skal være $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$, men jeg får det ikke til å føre fram.

Det jeg forsøkte var å bruke at $\frac{d}{dx}\mathrm{\Psi }(x,y(x))=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}\frac{dy}{dx}$ men jeg kom som sagt ikke fram. Hvilken metode bør jeg bruke?

All hjelp mottas med takk.

[mrcreosote]

Hva mener du med å derivere en sirkel? Er du på jakt etter tangenter?

[espen180]

Ja, det stemmer.

[daofeishi]

Helt vanlig implisitt derivasjon. Deriver hele uttrykket mhp og x, og bruk kjerneregelen der det trengs.

$$\begin{gathered} x^2+y^2=1 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{y}^2=0 \\ 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0 \end{gathered}$$

[Dinithion]

Uten å komme med en lang utledning om implisitt derivasjon, så er det nå ihvertfall slik jeg ville gjort:

$$\begin{gathered} f(x)=x^2+y^2=1 \\ {f}^{,}(x)=2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \end{gathered}$$

Resten ser du selv, og jeg orker derfor ikke skrive det.

Jeg hadde ikke tid å sette meg skikkelig inn i utledningen når vi hadde implisitt derivasjon. Noe som igrunn er ganske håpløst og gjør derfor dette litt vrient for meg. Forhåpentligvis får jeg satt meg skikkelig inn i det før eksamen.

Uansett så har det (Om jeg ikke husker helt feil) med inverse funksjoner å gjøre. Man kan jo utrykke y som en funksjon av x (Til en hvis grad bare i dette eksempelet siden vi har x²). Men man deriverer på hensyn med x, og da blir det slik. Det står sikkert noe om det på wikipedia, uten at jeg har sjekket det opp heller

Håper det ikke var mer forvirrende enn oppklarende

[espen180]

Ok, da prøver vi igjen. Jeg prøvde å uttrykke x ved y og bare derivere det. Da fikk jeg

$$\begin{gathered} y=\sqrt{1-x^2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y} \end{gathered}$$

Da fikk jeg det jeg var ute etter fra starten. Hvis jeg setter dette inn i det dere skrev opp, får jeg:

$2x+2y\frac{x}{y}=0\iff 2x+2x=0\iff 4x=0$

Jeg tror jeg enten misforsto eller klønet det til, men jeg fikk det riktige da jeg bare isolerte y og deriverte.

[mrcreosote]

Hvordan får du 2y*x/y=2x?

[espen180]

Hvordan får du 2y*x/y=2x?

$\frac{2\cancel{y}x}{\cancel{y}}=2x$

Blir det ikke slik da?

[Dinithion]

Ops, det ble altså mer forvirrende enn oppklarende

Se bort i fra de to nederste avsnittene i såfall. Det var bare en slags liten utledning til hvorfor det ble slik. Tanken var ikke at man skulle utrykke y ved x, eller noe slikt. Det var bare en slags dårlig forklaring.

[mrcreosote]

Beklager, hvor kommer 2y*x/y fra i utgangspunktet var vel det jeg lurte på.

[espen180]

Daofeishi og Dinithion foreslo $f^{\prime }(x)=2x+2y\frac{dy}{dx}=0$. Jeg fant at

$$\begin{gathered} y=\sqrt{1-x^2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y} \\ {f}^{\prime }(x)=2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \\ {f}^{\prime }(x)=2x-2y\cdot \frac{x}{y}=0 \\ {f}^{\prime }(x)=0 \end{gathered}$$

Men dette stemmer jo ikke?

[Dinithion]

$$\begin{gathered} 2x+2y\frac{dy}{dx} \\ 2y\frac{dy}{dx}=-2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}=-\frac{x}{y} \end{gathered}$$

I desember får jeg kanskje tid å skrive en litt mer utfyllende forklaring på implisitt derivasjon (Om jeg husker det)

[Bogfjellmo]

Daofeishi og Dinithion foreslo $\underset{―}{f^{\prime }(x)}=2x+2y\frac{dy}{dx}=\underset{―}{0}$
<snip>
$f^{\prime }(x)=0$

Men dette stemmer jo ikke?

Hvor er problemet?
$f^{\prime }(x)\ne \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ om det er det som forvirrer deg.

[Karl_Erik]

Det du gjør er å definere funksjonen $f(x)=x^2+y^2=1$. Dette ser du er en funksjon som konstant er lik 1. Og den deriverte av en konstantfunksjon er 0. Dette stemmer. Men x^2+y^2=1 er ikke en funksjon, det er en likning. Du kan ikke uten videre bruke vanlig derivasjonsteknikk på likninger. Det du sannsynligvis mener å gjøre er å si at likningen gir y som en funksjon av x og finne den deriverte av y med hensyn på x. Dette kan du fint bruke implisitt derivasjon til. Mulig jeg ikke helt svarte på spørsmålet ditt eller for den saks skyld svarte feil, men håper det hjalp hvertfall litt.

[Charlatan]

Hvis $A(x)=B(x)$ så er $A^{\prime }(x)=B^{\prime }(x)$, gitt at likheten gjelder for et deriverbart definisjonsområde, selv om B er en konstant. Det du må huske på er hvilken variabel du deriverer med hensyn på.