Separabel difflikning

[sveioen]

Har jeg løst denne riktig?

[tex]\frac{dy}{dx}=y\lambda[/tex]
[tex]\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\lambda[/tex]
[tex]\frac{1}{y}dy=\lambda dx[/tex]
[tex]\int\frac{1}{y}dy=\int \lambda dx[/tex]
[tex]\ln y = \lambda x[/tex]
[tex]y=e^{\lambda x}[/tex]

Hva er grunnen til at man skriver y istedenfor y(x)? Er dette bare for å få det litt ryddigere?

[Mayhassen]

Ja
at man skriver kun y er vel bare sløvhet vil jeg tro

[sveioen]

Etter jeg har integrert og fått [tex]\ln y=\lambda x[/tex], så må jeg vel ha denne C'en med også? Vil svaret bli [tex]y = e^{\lambda x} + C[/tex] eller [tex]y = e^{\lambda x+C}[/tex] (altså opphøyet i e)?

[Janhaa]

Etter jeg har integrert og fått [tex]\ln y=\lambda x[/tex], så må jeg vel ha denne C'en med også? Vil svaret bli [tex]y = e^{\lambda x} + C[/tex] eller [tex]y = e^{\lambda x+C}[/tex] (altså opphøyet i e)?

man skriver siste...mener jeg, slik at;

[tex]y = e^{\lambda x+C}=e^{\lambda x}\cdot e^C=D\cdot e^{\lambda x[/tex]

[sveioen]

Sjekket boken, og du har helt rett Janhaa.

En til!
[tex]\frac{dy}{dx}=y \sin x[/tex]

blir [tex]y=e^{-\cos x}[/tex]. Rett?

Jeg skal i tillegg vise at løsningene er periodiske, men går ikke dette automatisk frem av [tex]e^{-\cos x}[/tex] leddet?

[FredrikM]

Vel. Du glemte en konstant ett eller annet sted.

[tex]y^,=y \sin{x}[/tex]
[tex]\frac{y^,}{y}=sinx[/tex]

Integerer på hver side:
[tex]\int \frac{y^,}{y} \, dx = \ln{|y|} + C_1 = \int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C_2[/tex]

Altså:
[tex]\ln{|y|} = -\cos{x} + C \\ y = Ce^{-\cos{x}}[/tex]

[sveioen]

Har en tendens til å glemme C'en ja. En siste:

[tex]\frac{dy}{dx}=\sqrt{y}e^{-x}[/tex]
[tex]\frac{1}{\sqrt{y}} \, dy = e^{-x} \, dx[/tex]
[tex]y^{-\frac{1}{2}} \, dy=e^{-x} \, dx[/tex]
[tex]\int y^{-\frac{1}{2}} \, dy = \int e^{-x} \, dx[/tex]
[tex]2\sqrt{2}+C_{1}=-e^{-x} + C_2[/tex]
[tex]y=\left(\frac{-e^{-x}}{2}+C\right)^2[/tex]

Gitt [tex]y(0) = 1[/tex]:

[tex]1 = \left(\frac{-e^{-x}}{2}+C\right)^2[/tex]
[tex]\sqrt{1} = -\frac{1}{2}+C[/tex]
[tex]C = \frac{3}{2}[/tex]

Ser dette rett ut?

Takker så mye for hjelp. Er ny på difflikninger.

[FredrikM]

Ser rett ut det der. Men kan kicke litt på notasjonen din:

[tex]2\sqrt{2}+C_{1}=-e^{-x} + C_2[/tex]
Her har du skrevet feil, men regner videre som om det stod rett.

[tex]1 = \left(\frac{-e^{-x}}{2}+C\right)^2[/tex]
Her skal x=0, men du har glemt å bytte ut x-verdiene oppe. Korrekt notasjon ville vært å bytte ut x med 0.

Men ellers supert.

[sveioen]

Hmm. Hva er det som er galt med [tex]2\sqrt{2}+C_{1}=-e^{-x} + C_2[/tex]?

Glemte selfølgelig å bytte ut x-verdien med 0 i [tex]1 = \left(\frac{-e^{-x}}{2}+C\right)^2[/tex] ja

[FredrikM]

Det er ingen y der.

[sveioen]

At det er mulig.. [tex]2\sqrt{y}+C_{1}=-e^{-x} + C_2[/tex] skulle det såklart være. Takker så mye for hjelpen!