Delbrøkoppspalting

[FredrikM]

Hei.

Dette er nesten litt småflaut, for jeg trodde jeg kunne dette godt nå. Ihvertfall:

[tex]\frac{1}{x+x^3}[/tex]

Kan noen si meg hvordan jeg går fram her?

[tex]...=\frac{1}{x(1+x^2)}[/tex]

Altså - delbrøkoppspalte den.

[Gauteamus]

Du antar at man i det hele tatt kan delbrøkoppspalte (er dette en utilbørlig frekkhet, eller åpenbart tillatt) og at tellerne henholdsvis blir A og B:

[tex]\frac{1}{x+x^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1 + x^2}[/tex]

Ganger likningen med felles nevner og ordner leddene slik at alle ledd med f.eks x^2 står samlet.

Anta at eneste måten denne likningen kan gå opp er at uttrykket foran x-ene er likt på begge sider av likhetstegnet, uttrykket foran x^2 må være likt på begge sider osv. Forhåpentligvis (nødvendigvis?) får man da like mange likninger som man har ukjente.

Hva er grunnen til at man kan foreta denne igjen noe frekke oppdelingen i "underlikninger"? Hint: det har noe med lineær uavhengighet å gjøre hvis du vil problematisere dette.

[FredrikM]

[tex]\frac{1}{x+x^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1 + x^2}[/tex]

Den der gir ikke noe entydig svar - så det oppsettet virker ikke. Jeg prøvde med
[tex]\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+x^2}[/tex]

Jeg får da et brukbart ligningssystem, men svaret blir feil.

[Gauteamus]

Uff, beklager, jeg grov en grav for meg selv, der!


[tex]\frac{1}{x+x^3} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}[/tex]

Skulle ved utregning gi riktig svar - hva får du?

[FredrikM]

Ganger med nevner på begge sider og får:

[tex]1=A(1+x^2)+(Bx+C)x=x^2(A+C)+Bx+A[/tex]

Og dette gir oss at A=1, A+C=0, og B=0. Altså får vi at at:

[tex]\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+1}[/tex]

Men dette er feil.

[meCarnival]

Du får vel mer

[tex]1 = A(x^2+1)+(Bx+C)x = (A+B)x^2+Cx+A[/tex]

[tex]C = 0[/tex]

[tex]A = 1[/tex]

[tex]A+B = 0 \Rightarrow B = -1[/tex]

Som gir

[tex]\int\frac{1}{x}-\frac{x}{(1+x^2)}[/tex]

[Gauteamus]

Du har byttet om B'en og C'en i den siste likheten:
[tex]...=x^2(A + B) + Cx + A[/tex]

[FredrikM]

Huffda, for en rotekopp jeg er.

Men ihvertfall - det gir i så fall:

[tex]\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}[/tex]

...og det er visst rett.

[meCarnival]

Yupp, da er du på riktig vei