Vis at en isomorfisme er en ekvivalensrelasjon

[SonGoku]

Hei trenger litt hjelp til å skjønne hvordan man skal gå frem for å bevise dette. Oppgaven er enkel nok:

Vis at en isomorfisme er en ekvivalensrelasjon, dvs. hvis G, H og K er grupper er

$$\begin{gathered} 1.\text{tex}G\widetilde{=}G, \\ 2.\text{ hvis }G\widetilde{=}H,\text{ vil }H\widetilde{=}G\text{, og} \\ 3.\text{ hvis }G\widetilde{=}H\text{ og }H\widetilde{=}K,\text{ vil }G\widetilde{=}K \end{gathered}$$

Jeg tror jeg har forstått hva jeg skal vise, dvs

$$\begin{gathered} 1.f(a\ast b)=f(a)\ast f(b)\Rightarrow f(a)\ast f(b)=f(a\ast b) \\ 2.f(a\ast b)=f(a)\bullet f(b)\Rightarrow f(a\bullet b)=f(a)\ast f(b) \\ 3.f(a\ast b)=f(a)\bullet f(b)\text{ og }f(a\bullet b)=f(a)\diamond f(b)\Rightarrow f(a\ast b)=f(a)\diamond f(b), \end{gathered}$$

men jeg vet ikke hvordan jeg skal komme frem til det eller argumentere for det.

[mrcreosote]

Hvis G og H er isomorfe, har vi en isomorfi mellom G og H. Bruk at isomorfier har en invers som sjøl er en isomorfi og at sammensetninger av isomorfier blir en ny isomorfi.

[Gustav]

identiteten er en isomorfi

[SonGoku]

Hmm er fortsatt litt usikker på hvordan jeg skal starte.

Hvis G og H er isomorfe, har vi en isomorfi mellom G og H. Bruk at isomorfier har en invers som sjøl er en isomorfi og at sammensetninger av isomorfier blir en ny isomorfi.

Jeg føler at dette er akkurat de tingene som skal vises, men jeg vet ikke hvordan det skal gjøres. F.eks. kan man si noe sånt som (om refleksiviteten) at en [symbol:funksjon] : G -> G slik at $f(x)=y$, må ha en invers $f^{-1}(y)=x$ siden dette er en forutsetning for at det er en gruppe (dvs at det finnes et inverselement b i G slik at a*b = e, hvor e er identiteten)?

[mrcreosote]

Hvis G og H er isomorfe, har vi en isomorfi mellom G og H. Du skal vise at H og G er isomorfe. Det betyr at du må vise at det fins en isomorfi mellom H og G, og det har vi, nemlig en invers til en isomorfi vi allerede veit eksisterer.

[SonGoku]

Ok, men dette svarer til symmetriegenskapen (pkt 2) ikke sant? For transitivitet benytter vi at en sammensetning av to isomorfe funksjoner er en ny isomorf funksjon? F.eks. slik:

Gitt $f:G\to H$ og $p:H\to K$, vil da sammensetningen $p(f)$ være en isomorfi fra $G\to K?$

[SonGoku]

***
Beklager dobbelpost

[Gustav]

Angående refleksiviteten:

La f:G->G være gitt ved f(x)=x. Da er f en isomorfi fra G på seg selv.

Bevis:

1. f(x*y)=x*y=f(x)*f(y) => f er en gruppehomomorfi.

2.

Bevis av injektivitet:

La f(x)=f(y) => x=y, så f er injektiv.

Bevis av surjektivitet:

Anta at det fins en x i G s.a. f(y) er ulik x for alle elementer i G.
Men dette er en motsigelse i seg selv siden vi kan velge y=x (da f(x)=x).



Angående symmetrien:

Du kan enten anta at en isomorfi har en invers som selv er en isomorfi (som jeg tipper er poenget med oppgaven) eller du kan gå veien via morfier og prøve å bevise eksistensen av en slik invers, men dette har ikke så mye med innføring i gruppeteori å gjøre.