A^x når a er mindre enn 0

[lodve]

Hei!
Kan noen forklare meg hva som skjer med funksjonsverdiene til a^x når a<0, altså negative a verdier?

Takk.

[espen180]

Da får du en kurve i det komplekse planet. For eksempel kan vi se på [tex]f(\frac12)=a^{\frac12}=-a_1^{\frac12}=\sqrt{-a_1}=i\cdot a_1=-i\cdot a[/tex], altså et komplekst tall. Derimot vil for eksempel [tex]f(2)=(-a)^2=a^2[/tex] være et reelt tall. Dette kan generaliseres til at [tex]f(x)[/tex] er en "vanlig" reell funksjon for alle heltallige x, og en kurve i det komplekse planet for alle andre x.

Håper dette var til hjelp.

Her har du litt ekstra lesing hvis du er nysgjerrig:
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_numbers
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_functions (ganske høyt nivå)

[Gustav]

litt sjelden man hører om funksjoner av typen [tex]f_a(x)=(-a^2)^x[/tex] gitt. Man kan vel like godt la x være kompleks, og skrive [tex]f_a(z)=(-a^2)^z[/tex] for reelle verdier av a og z kompleks. Mon tro om denne er holomorf....

[Vektormannen]

Dette kan generaliseres til at [tex]f(x)[/tex] er en "vanlig" reell funksjon for alle heltallige x, og en kurve i det komplekse planet for alle andre x.

Ikke nødvendigvis vel? Hva med eksponenter med brøker der nevner er oddetallig eller telleren er partallig?

[espen180]

Dette kan generaliseres til at [tex]f(x)[/tex] er en "vanlig" reell funksjon for alle heltallige x, og en kurve i det komplekse planet for alle andre x.

Ikke nødvendigvis vel? Hva med eksponenter med brøker der nevner er oddetallig eller telleren er partallig?

Åja... Glemte de to mulighetene. Da generaliserer vi heller til [tex]x=n\vee x=\frac{n}{2m-1}\,\wedge\,n,m\in\mathbb{N}\Leftrightarrow a^x\in\mathbb{R}\,,\,a<0[/tex]

Ser det bedre ut?

[lodve]

Vet dere når jeg får opplæring i dette på vgs? Virker veldig nytt for meg

[2357]

Du får om komplekse tall hvis du velger x-matten.

[Realist1]

Kan noen forklare meg hva som skjer med funksjonsverdiene til a^x når a<0, altså negative a verdier?

For å svare på det du spør om:
Sett a til f.eks. (-2) (som jo er et negativt tall).
(-2)^x vil svinge opp og ned over x-aksen. Store bølger jo større x-verdiene er, mens jo mindre x-verdien er, desto mindre blir "bølgene". Når x er veldig liten, er forskjellen også veldig liten. Mens du ser at etter hvert som x øker, blir bølgene også større. Slik er det for alle negative a-verdier, men med ulike resultatverdier, selvfølgelig.

For a=(-2) i formelen a^x:
Når x = -5, vil verdien være -0,03125
Når x = -4, vil verdien være 0,0625
Når x = -3, vil verdien være -0,125
Når x = -2, vil verdien være 0,25
Når x = -1, vil verdien være -0,5
Når x = 0, vil verdien være 1
Når x = 1, vil verdien være -2
Når x = 2, vil verdien være 4
Når x = 3, vil verdien være -8
Når x = 4, vil verdien være 16
osv

NB: Dette gir reelle løsninger kun når x er heltall. Det ser du hvis du prøver å tegne grafen (-2)^x på kalkulatoren. Grafen kommer som små prikker over og under heltallene på x-aksen.

Grunnen ser du dersom du prøve å la x være 1,5 for eksempel. 1,5 = 3/2

[tex](-2)^{\frac{3}{2}} = \left( (-2)^3 \right) ^{\frac12} = \sqrt{-8}[/tex]

Som du vet er det ikke helt lett å finne kvadratroten av -8 ved hjelp av reelle tall. Derfor får du kun heltall opp som x-verdier på kalkulatoren.

Hvorfor er du nysgjerrig på dette? Er det R-læreren som har gitt dere oppgaver?

[lodve]

Nei, har ikke x-matte . Spør om dette av ren nysgjerrighet, for i boken r1 side 58 så står det nemlig om dette, men ikke når a er negative. (Antar at vi bruker samme bok)

[Gustav]

[tex](-2)^{\frac{3}{2}}[/tex] må behandles noe mer forsiktig enn det er gjort over. Vi har at [tex]-1=e^{\pi i+2\pi i n} \, , n \in \mathbb{Z}[/tex]. Da blir [tex](-2)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{8} e^{\frac{3\pi i +6\pi i n}{2}}= \pm\sqrt{8}i [/tex]

[FredrikM]

Du glemte en [tex]i[/tex] i eksponenten.

[Realist1]

Hvorfor må det det? Spørsmålet han lurer på er ganske enkelt, og det er helt mulig å gi en enkel forklaring som en R1-elev kan skjønne uten problemer.

[lodve]

Takk for hjelpen.