Utfordring:
[tex]I_{22}=\int \frac{x}{sin(x)+1}\,dx[/tex].
Integralkalenderen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]I_{\small 22}=\large \int \frac{x(1-\sin(x))}{1-\sin^2(x)}\,dx=\int x(1-\sin(x))(1+\tan^2(x))\,dx=\int x (1-\sin(x))\sec^2(x)\,dx[/tex]
[tex]I_{\small 22}=\large \int x (1-\sin(x))\sec^2(x)\,dx=\int [x \sec^2(x)\,-\,x\tan(x)\sec(x)]\,dx=I_{a}\,+\,I_b[/tex]
delvis integrasjon;
[tex]I_a=x\tan(x)\,-\,\int \tan(x)\,dx=x\tan(x)\,+\,\ln|\cos(x)|\,+\,C_1[/tex]
delvis integrasjon;
[tex]I_b=x\sec(x)\,-\,\int \sec(x)\,dx[/tex]
sistnevnte er løst flere ganger før, både her og der;
[tex]I=\int \sec(x)\,dx=\int \frac{dx}{\cos(x)}={1\over 2}\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|=2\text arctanh(tan({x\over 2}))[/tex]
----------------------------------------------------
til slutt:
[tex]I_{\small22}=x\tan(x)\,+\,\ln|\cos(x)|\,-\,x\sec(x)\,+\,{1\over 2}\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right| \,+\,C[/tex]
[tex]I_{\small 22}=\large \int x (1-\sin(x))\sec^2(x)\,dx=\int [x \sec^2(x)\,-\,x\tan(x)\sec(x)]\,dx=I_{a}\,+\,I_b[/tex]
delvis integrasjon;
[tex]I_a=x\tan(x)\,-\,\int \tan(x)\,dx=x\tan(x)\,+\,\ln|\cos(x)|\,+\,C_1[/tex]
delvis integrasjon;
[tex]I_b=x\sec(x)\,-\,\int \sec(x)\,dx[/tex]
sistnevnte er løst flere ganger før, både her og der;
[tex]I=\int \sec(x)\,dx=\int \frac{dx}{\cos(x)}={1\over 2}\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|=2\text arctanh(tan({x\over 2}))[/tex]
----------------------------------------------------
til slutt:
[tex]I_{\small22}=x\tan(x)\,+\,\ln|\cos(x)|\,-\,x\sec(x)\,+\,{1\over 2}\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right| \,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Siden disse er så lette, serveres herved to;
[tex]I_{\small 23a}=\large \int \frac{4x}{x^4+1}\,dx[/tex]
[tex]I_{\small 23b}=\large \int \cos^5(x)\,dx[/tex]
[tex]I_{\small 23a}=\large \int \frac{4x}{x^4+1}\,dx[/tex]
[tex]I_{\small 23b}=\large \int \cos^5(x)\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
[tex] \int \frac{4x}{x^4+1}dx \\
u=x^2 \\
2 \int \frac{du}{u^2+1} \\
u=tan \theta \\
2 \int \frac{sec^2 \theta}{tan^2 \theta +1}=2 \int d \theta = 2 \theta+C= 2 tan^{-1}u+C=2tan^{-1}(x^2)+C [/tex]
Huff, er litt ustødig på disse tex-greiene![Confused :?](./images/smilies/icon_confused.gif)
Huff, er litt ustødig på disse tex-greiene
![Confused :?](./images/smilies/icon_confused.gif)
Da er det julaften, og vi avslutter kalenderen med et par ekstra vanskelige integraler.
Jeg minner om en nyttig formel fra mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
[tex]I_{24_a}=\int \frac{x}{cos(x)}\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{24_b}=\int \frac{\ln\left(sin(x)\right)}{sin(x)}\rm{d}x[/tex]
Jeg minner om en nyttig formel fra mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
[tex]I_{24_a}=\int \frac{x}{cos(x)}\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{24_b}=\int \frac{\ln\left(sin(x)\right)}{sin(x)}\rm{d}x[/tex]
Kjipe integral over, men denne er overkommelig. Det ubestemte integral;Magnus skrev:[tex]\int_0^\pi \frac{2}{3\sin(2x)+5}dx[/tex]
(ikke til TrulsBR og andre som tok matte4 i år:))
Hakke jeg hatt, bare underviser i vgs kjemi
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
bruker at [tex]\,\,\sin(2x)=\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}[/tex]
derfor
[tex]I=2\int \frac{1+\tan^2(x)}{5\tan^2(x)+6\tan(x)+5}\,dx=2\int \frac{du}{5u^2+6u+5}[/tex]
der u = tan(x)
----------------------
videre substitusjon er [tex]\,\,v={1\over 4}(5u+3)[/tex]
slik at
[tex]I={1\over 2}\int \frac{dv}{v^2+1}={1\over 2}\arctan({1\over 4}(5u+3))\,+\,C={1\over 2}\arctan\left({1\over 4}(5\tan(x)+3)\right)[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Jeg fant ut dette etterhvert. Orka ikke fixe det på natta. Svaret mitt, til tross for riktig integral, blir null.
Skal vel helst bli [symbol:pi]/2.
Skal vel helst bli [symbol:pi]/2.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
[tex]\int \frac{x}{cos(x)}\rm{d}x = \int \frac{2x}{e^{ix}+e^{-ix}}\rm{d}x = 2\int \frac{xe^{ix}}{1+e^{i2x}}\rm{d}x = \int \frac{x\left[i(1-ie^{ix})-i(1+ie^{ix})\right]}{(1+ie^{ix})(1-ie^{ix})}\rm{d}x = \int \frac{ix}{1+ie^{ix}}\rm{d}x - \int \frac{ix}{1-ie^{ix}}\rm{d}x = \int xA_{1} - \int xA_{2}\rm{d}x[/tex]espen180 skrev: [tex]I_{24_a}=\int \frac{x}{cos(x)}\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{1} = \int A_{1} = \int \frac{i}{1+ie^{ix}}\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{2} = \int A_{2} = \int \frac{i}{1-ie^{ix}}\rm{d}x[/tex]
med delvis integrasjon vil en få:
[tex]I_{24_{a}} = x(I_{1}-I_{2})-\int \left(I_{1} - I_{2}\right)\rm{d}x[/tex]
bruker substitusjon på [tex]I_{1}[/tex] og [tex]I_{2}[/tex];
[tex]u = e^{ix} \Rightarrow \rm{d}u = ie^{ix}\rm{d}x \Leftrightarrow \rm{d}x = \frac{-i}{u}\rm{d}u[/tex]
da får en:
[tex]I_{1} = \int A_{1} = \int \frac{1}{u(1+iu)}\rm{d}u = ln(u)-ln(1+iu) = ix - ln(1+ie^{ix})[/tex]
[tex]I_{2} = \int A_{2} = \int \frac{1}{u(1-iu)}\rm{d}u = ln(u)-ln(1-iu) = ix - ln(1-ie^{ix})[/tex]
første leddet i den delvise integrasjonen vil bli:
[tex]x\left[(ix - ln(1+ie^{ix}))-(ix - ln(1-ie^{ix}))\right] = x\left[ln(1-ie^{ix})-ln(1+ie^{ix})\right][/tex]
det andre leddet i den delvise integrasjonen vil bli:
[tex]\int ln(1-ie^{ix})-ln(1+ie^{ix})\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{3} = \int ln(1-ie^{ix})\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{4} = \int ln(1+ie^{ix})\rm{d}x[/tex]
bruker substitusjon på [tex]I_{3}[/tex] og [tex]I_{4}[/tex]:
[tex]u = ie^{ix} \Rightarrow \rm{d}u = -e^{ix}\rm{d}x \Leftrightarrow \rm{d}x = \frac{-i}{u}\rm{d}u[/tex]
ved å benytte informasjonen fra mathworld ( http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html ):
[tex]I_{3} = \int ln(1-ie^{ix})\rm{d}x \Rightarrow \int \frac{-iln(1-u)}{u}\rm{d}u = -iL_{i_{2}}(u)[/tex]
[tex]I_{4} = \int ln(1+ie^{ix})\rm{d}x \Rightarrow \int \frac{-iln(1-(-u))}{u}\rm{d}u = -iL_{i_{2}}(-u)[/tex]
sett inn for u:
[tex]I_{3} = -iL_{i_{2}}(ie^{ix})[/tex]
[tex]I_{4} = -iL_{i_{2}}(-ie^{ix})[/tex]
som gir:
[tex]I_{24_{a}} = x\left[ln(1-ie^{ix})-ln(1+ie^{ix})\right] + i\left[L_{i_{2}}(-ie^{ix}) - L_{i_{2}}(ie^{ix}))\right] + C[/tex]
som jeg tror skal stemme
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
kan sikkert gjøres enklere og vil jeg tro, så hadde vært fint (hvis det er mulig) at noen kan forenkle det
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Sist redigert av drgz den 31/12-2008 12:01, redigert 2 ganger totalt.
Pluss en integrasjonskonstant.
Joda, kjempeflott!
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Joda, kjempeflott!