Differensial likninger!

[meCarnival]

Hei..

Jeg og en annen i klassen mener vi har utført differensial likningene rett, men fasit holder ikke en knapp på oss.. Noen som ser feil(a)?

Oppgave #1:

Generell løsning og finne partikulær løsning ved [tex]y(0)=1[/tex]

[tex]y^, = \frac{y^2}{x^2+1}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+1}[/tex]

[tex]\frac{1}{y^2}dy = \frac{1}{1+x^2}dx[/tex]

[tex]\int\frac{1}{y^2}dy = \int\frac{1}{1+x^2}dx[/tex]

[tex]-\frac{1}{y} = arctan(x) + C[/tex]

[tex]y = -\frac{1}{arctan(x)} + C[/tex]

Herfra skyter vi kun i stanga enn hva vi gjør =/...

Fasit: (som partikulær antar vi...)
[tex]y = \frac{1}{1-arctan(x)}[/tex]

[Bogfjellmo]

[tex]-\frac{1}{y} = arctan(x) + C[/tex]

[tex]y = -\frac{1}{arctan(x)} + C[/tex]

Her regner du rett og slett feil. Første linja her er rett, men hvordan kom du til linje 2? Hva gjør du med høyresida? Med venstresida?

[meCarnival]

Ja, tastet litt feil på kalkulatoren...

Blir det noe sånt da:
[tex]-\frac{1}{y} = arctan(x) + C[/tex]

[tex]y = -\frac{1}{arctan(x) + C}[/tex]

[tex]y = \frac{1}{C - arctan(x)}[/tex]

y(0) = 1

[tex]1 = \frac{1}{C - arctan(0)}[/tex]

[tex]1 = \frac{1}{C}[/tex]

[tex]C = 1[/tex]

Partikulær løsning:
[tex]y = \frac{1}{1 - arctan(x)}[/tex]

[meCarnival]

Antar forrige var riktig, men her har jeg en til:

[tex]y^, = e^{x+y}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y[/tex]

[tex]\frac{1}{e^y} dy = e^x dx[/tex]

[tex]\int\frac{1}{e^y} dy = \int e^x dx[/tex]

[tex]-e^{-y} = e^x + C[/tex]

Hit mener vi det er riktig og usikker herfra men kladdeboka ser slik ut:

[tex]-ln^{e^{-y}} = ln^{e^x + C}[/tex]


[tex]y = ln^{e^x + C}[/tex]
eller blir det
[tex]y = ln^{e^x} + C[/tex]


Noen innspill?



Fasit, når [tex]y(0)=0[/tex]:

[tex]-ln(2-e^x)[/tex]

[Janhaa]

Antar forrige var riktig, men her har jeg en til:
[tex]y^, = e^{x+y}[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y[/tex]
[tex]\frac{1}{e^y} dy = e^x dx[/tex]
[tex]\int\frac{1}{e^y} dy = \int e^x dx[/tex]
[tex]-e^{-y} = e^x + C[/tex]
Hit mener vi det er riktig og usikker herfra men kladdeboka ser slik ut:
[tex]-ln^{e^{-y}} = ln^{e^x + C}[/tex]
[tex]y = ln^{e^x + C}[/tex]
eller blir det
[tex]y = ln^{e^x} + C[/tex]
Noen innspill?
Fasit, når [tex]y(0)=0[/tex]:
[tex]-ln(2-e^x)[/tex]

[tex]-e^{-y} = e^x + C[/tex]

[tex]e^{-y} = D - e^x [/tex]

[tex]\ln(e^{-y})=\ln(D-e^x)[/tex]

[tex]y=-\ln(D-e^x)[/tex]

osv...

[meCarnival]

Ja, det var så enkelt ja... Takker for svaret... Presisjon, presisjon