Lage differensial likning...

[meCarnival]

Ja, da har jeg fått oppgave om det verste jeg vet av det jeg har lært hittil i matematikk. Det å sette opp differensial likning selv utifra f.eks tekst...
Jeg hater rett og slett det og spør om noen har noen glupe tenkeregler når man skal sett opp sånt? Tenker alltid at noe skal være opphøyd, en uavhengig verdi o.l. men aner aldri hvordan jeg skal sette det opp og kan sikkert lage 50 forskjellige likninger før jeg i hele tatt er på sporet av det riktige...

Har en oppgave her jeg prøver meg på:

"En væske med temperatur 100[sup]o[/sup]C settes til avkjøling i et rom med temperatur 20[sup]o[/sup]C. Vi antar at alle deler av væsken avkjøles like raskt, og at romtemperaturen ikke endres under avkjølingsprosessen. Etter 10 minutter er væskens tempertur sunket til 80[sup]o[/sup]C. Vi antar at avkjølingshastigheten, dvs. væskens temperaturendring pr. tidsenhet, hele tiden er proporsjonal med temperaturdifferensen mellom væsken og omgivelsene."

a) Still opp og løs differensillikningen for væskens temperatur. Hvilken tempereatur har væsken etter 20 minutter?
b) Lang tid har det gått før væsken har temperatur på 60[sup]o[/sup]C?


Jeg sitter bare å samler inn informasjon og tenker du løsninger, men hvordan likningen jeg skal komme frem til vet jeg ikke hvordan skal se ut...

Funnet ut vanlige ting som:
- Etter 10 min er temperaturen i væsken 20[sup]o[/sup]C mindre
- Start temerpatur i væsken er 100[sup]o[/sup]C

Lest en del i boka mi og finner lite om akkurat dette, er noen elektro eksempler som jeg ikke ser på som like med denne.

Tar i mot all hjelp til forslag til løsning start på oppgaven og "tenkeregler" for differensiallikninger...

[espen180]

Tror ligningen du vil ha er

[tex]T^\prime=k(T-20^\circ)[/tex]

fordi du vet at temperaturendringen per tidsenhet er proposjonal men differansen mellom temperaturen og omgivelsene, men er ikke helt sikker.

Jeg tror at når du får oppgitt at A er probosjonal med B, så betyr det at [tex]A=kB[/tex] osv.

[meCarnival]

Ok... Liker ikke dette, men hva er k'n i ditt tilfelle...?

[mrcreosote]

Ok... Liker ikke dette, men hva er k'n i ditt tilfelle...?

Etter at du har løst ligninga kan du finne ut dette med resten av opplysningene du har fått oppgitt.

[espen180]

Ligninga over er forøvrig lineær og kan løses med integrerende faktor, om du ikke visste dette fra før.

[Janhaa]

hvis du skriver diff. likninga omtrent som espen sin diff.likning, kan du lese ut fra likninga hva benevninga til k er. dette er forresten et klassisk eksempel på Newtons avkjølingslov;

[tex]\frac{dT}{dt}=-k\,\cdot (T-T_a)[/tex]

venstre sia over viser at
[tex]\frac{dT}{dt}:\,\frac{^o C}{min}[/tex]
ergo må
[tex]k:\,min^{-1}[/tex]
----------------------------------

[tex]\frac{dT}{dt}=-k\,\cdot (T-T_a)[/tex]

likninga løses pent og pyntelig vha vanlig regler;

[tex]\int \frac{dT}{T-T_a}=-k \int dt[/tex]
.
.
.
[tex]T(t)=T_a\,+\,(T_o-T_a)e^{-kt}[/tex]
.
.
[tex]T(t)=20\,+\,80e^{-kt}[/tex]

så kan du finne k og T(20) og til slutt T(t)=60

[meCarnival]

Hey... Takker for all hjelp.. Førte bare inn alt og mangler bare denne oppgaven nå så skal sette meg ned med differensial likningen og prøve selv... Takk for forklaringen så får vi se om jeg klarer dette nå da =)...

[meCarnival]

Integrerte vha vanlige regler og kommer slik:

[tex]\int\frac{1}{T-T_0}dT=-k\int1dt[/tex]

[tex]ln\, |T-T_0\, | =-k\,\cdot\,t + C[/tex]

[tex]\, |T-T_0\, |=e^{-k t+C}[/tex]

[tex]T-T_0=\pm e^{-k t +C}[/tex]

[tex]T-T_0=\pm e^{-k t}\,\cdot\, e^{C}[/tex]



og der stopper det... Sammenlignet da litt med deg og hvor kommer [tex]T_a\,+\,(T_o-T_a)[/tex] frem?

[TrulsBR]

Husk integrasjonskonstanten.

[meCarnival]

Ja, redigert nå, men kommer ikke videre...

[Gustav]

Integrerte vha vanlige regler og kommer slik:

[tex]\int\frac{1}{T-T_0}dT=-k\int1dt[/tex]

[tex]ln\, |T-T_0\, | =-k\,\cdot\,t + C[/tex]

[tex]\, |T-T_0\, |=e^{-k t+C}[/tex]

[tex]T-T_0=\pm e^{-k t +C}[/tex]

[tex]T-T_0=\pm e^{-k t}\,\cdot\, e^{C}[/tex]



og der stopper det... Sammenlignet da litt med deg og hvor kommer [tex]T_a\,+\,(T_o-T_a)[/tex] frem?

Bør det ikke være [tex]\int\frac{1}{T-T_a}dT=-k\int1dt[/tex]

Da får du [tex]T-T_a=Ce^{-kt}[/tex]

[tex]T(0)-T_a=Ce^{-k*0}[/tex]

[tex]\Rightarrow T_0-T_a=C[/tex]

[tex]\Rightarrow T(t)-T_a=(T_0-T_a)e^{-kt}[/tex]

[meCarnival]

Ok...

1. Bare lov å plutselig T(0) ene leddet?
2. [tex]T_a = ?[/tex]


Ting jeg sliter med å bl.a. sette opp selv er å forstå i likningen hvor skal hva settes i forhold til hverandre.. Her skjønner jeg ikke at hvordan [tex]T(0)[/tex] settes inn for å få [tex]T_0[/tex]? Hadde boka ikke vært engelsk så hadde det vært enklere gitt... Men lineære kapitelet synes jeg stod dårlig og kun elektro eksempler...


Takker for all hjelp hittil

[espen180]

Hvis jeg ikke tar feil:

[tex]T_a[/tex] er satt til å være temperaturen til omgivelsene, 20 grader
[tex]T(t)=T_t[/tex] er temperaturen etter t sekunder. [tex]T_0=100^\circ[/tex]

Du har fått en del tilleggsopplysninger som du kan bruke til å finne C og k.

[meCarnival]

Ok, så det at det var 20 grader, men skjønte ikke hvorfor a ...

Ja, skal prøve å regne ut etterpå og se om jeg får riktig svar etterhvert... Tror jeg skal klare denne nå =)...

[meCarnival]

hvis du skriver diff. likninga omtrent som espen sin diff.likning, kan du lese ut fra likninga hva benevninga til k er. dette er forresten et klassisk eksempel på Newtons avkjølingslov;

[tex]\frac{dT}{dt}=-k\,\cdot (T-T_a)[/tex]

venstre sia over viser at
[tex]\frac{dT}{dt}:\,\frac{^o C}{min}[/tex]
ergo må
[tex]k:\,min^{-1}[/tex]
----------------------------------

[tex]\frac{dT}{dt}=-k\,\cdot (T-T_a)[/tex]

likninga løses pent og pyntelig vha vanlig regler;

[tex]\int \frac{dT}{T-T_a}=-k \int dt[/tex]
.
.
.
[tex]T(t)=T_a\,+\,(T_o-T_a)e^{-kt}[/tex]
.
.
[tex]T(t)=20\,+\,80e^{-kt}[/tex]

så kan du finne k og T(20) og til slutt T(t)=60

Det er "-k" i startuttrykket pga at temperaturen synker? bare for å få avklart en tanke jeg og to andre i klassen har =P