Lage differensial likning...

[Janhaa]

Det stemmer, bruker - k ved avkjøling
og
k ved oppvarming

[espen180]

Hvorfor det egentlig? Vil ikke verdien til [tex]k[/tex] få motsatt fortegnet til [tex]k[/tex] uansett?

[Gauteamus]

Ok...

2. [tex]T_a = ?[/tex]

T[sub]a[/sub] er engelsk shorthand for ambient temperature, eller omgivelsestemperatur på norsk

[meCarnival]

Ok...

2. [tex]T_a = ?[/tex]

T[sub]a[/sub] er engelsk shorthand for ambient temperature, eller omgivelsestemperatur på norsk

Ok, det viste jeg ikke... Lært noe nytt i dag også + at jeg har klart å løse den nå ved hjelp av dere Takker... Antok også at "a" ble brukt for å ikke misforstå mellom [tex]T_0[/tex] og [tex]T_o[/tex]

Poster ut løsningen min så får jeg se om det er sånn dere også har tenkt eller om det er noen andre varianter det er mulig å løse den på... Så jeg får lært mest mulig og få det inn så jeg ser dette med differensial likninger lettere ved senere anledninger...

[meCarnival]

Hvorfor det egentlig? Vil ikke verdien til [tex]k[/tex] få motsatt fortegnet til [tex]k[/tex] uansett?

Ja, da må jo utgangspunktet ditt være riktig også da? Ende med positivt fortegn må det være negativt i utgangspunktet iogmed det blir det omvendte eller misforstod jeg hva du tenkte?

[espen180]

Hvorfor det egentlig? Vil ikke verdien til [tex]k[/tex] få motsatt fortegnet til [tex]k[/tex] uansett?

Ja, da må jo utgangspunktet ditt være riktig også da? Ende med positivt fortegn må det være negativt i utgangspunktet iogmed det blir det omvendte eller misforstod jeg hva du tenkte?

Jeg mener at hvis k har negativt fortegn og verdien til k har positivt fortegn, for den totale verdien negativt fortegn. Derfor er det jo det samme om vi gir k et fortegn eller ikke, for alt som endres er at verdien til k endrer fortegn når k endrer fortegn?

[meCarnival]

Løsning:

[tex]\frac{dT}{dt}=-k\,\cdot\,(T_{start} - T_{omgivelser})[/tex]

Hopper litt i starten:
[tex]\int\frac{1}{T_s - T_o}\,dT=-k\int1\,dt[/tex]

og får tilslutt:
[tex]T_s-T_o=\pm e^{-k\cdot t+C}[/tex]

[tex]T_s-T_o=\pm e^C \,e^{-k\cdot t}[/tex]

[tex]T_s-T_o=Ae^{-k\cdot t} \,\,\,\,\, ,\,hvor A=\pm e^C[/tex]

[tex]T(0) - T_o = Ae^{-k \cdot 0}[/tex]

[tex]T(0) - T_o = A[/tex]

Substituerer [tex]A = T_s - T_o[/tex] og ender opp med:

[tex]T_s = T_o + (T_s-T_o)e^{-k\cdot t}[/tex]

[tex]T(t) = T_o + (T_s-T_o)e^{-k\cdot t}[/tex]

[tex]T(t) = 20^oC + (100^oC-20^oC)e^{-k\cdot t}[/tex]

[tex]T(t) = 20^oC + 80^oCe^{-k\cdot t}[/tex]

Finner [tex]-k[/tex]:
[tex]T(10) = 20^oC + 80^oCe^{-k\cdot 10} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,-k = \frac{ln(\frac{3}{4})}{10}[/tex]


Regneuttrykket blir:
[tex]T(t) = 20^oC + 80^oCe^{\frac{ln(\frac{3}{4})}{10} \,\cdot t}[/tex]



Oppgave 3a) (Regningen)
[tex]T(20) = 20^oC + 80^oCe^{\frac{ln(\frac{3}{4})}{10} \,\cdot 20} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, T(20)=65^oC[/tex]

Oppgave 3b)
[tex]60^oC = 20^oC + 80^oCe^{\frac{ln(\frac{3}{4})}{10} \,\cdot t} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, T(t)=60^oC \Rightarrow 24,09 minutter[/tex]



Gjerne vær kritisk til hvordan det hele er satt opp o.l. ... Bare satt opp noe for å poste, skal fylle ut alle ledd etterhvert =)

[tex]T_s = T(t)[/tex] satt jeg å gnage i meg selv i stad, en overgang jeg stusset litt på, men skjønte etterhvert...

[meCarnival]

Hvorfor settes T(0) egentlig? Er det 0 for å få A alene og få byttet ut den. det som er hensikten?

[espen180]

[tex]T(0)[/tex] er jo starttemperaturen. Hva hadde du gjort om du ikke visste at [tex]T(0)=100^\circ[/tex]? Da hadde det vel vært umulig å fastslå funksjonsuttrykket?

[meCarnival]

Ja, men blir litt forvirret... Plutselig blir [tex]T_start = T(t)[/tex] også setter vi inn [tex]T(0)[/tex]... også lar den går tilbake til [tex]T_start[/tex]


Ser det riktig ut regnet som jeg har gjort eller?

[espen180]

T[sub]start[/sub] trenger du som regel bare når du skal regne ut konstantene i funksjonsuttrykket. Jeg har ikke sett nøye over utregningen din ennå, men jeg skjønner ennå ikke hvorfor du i det hele tatt bruker T[sub]start[/sub] når du finner funksjonsuttrykket.

Jeg skal se over regningen din nå, kanskje er det jeg som tar feil her.

EDIT:

Så litt på utregningen. Hvorfor bruker du T_[sub]start[/sub] i begynnelsen? Jeg tror du har misforstått beskrivelsen av funksjonen i så fall. Den deriverte var proposjonal med differansen mellom temperaturen og omgivelsestemperaturen til ethert tidspunkt, ikke bare i starten. Dette betyr at når t går mo uendelig, går T mot 20 grader.

[meCarnival]

Ja, da har jeg misforstått noe som stod lengre foran...

Men skrive bare en T da? men hvordan blir bare denne temperaturen til T(t) lengre nede... Ser liksom ikke hvorfor jeg bare kan gjøre om hele tiden... akkurat det der forvirrer meg...

[espen180]

hmm. jeg prøver:

[tex]T^\prime=-k(T-20^\circ) \\ T^\prime+k\cdot T=20^\circ\cdot k \\ I.F.=e^{kt} \\ e^{kt}\cdot T^\prime + ke^{kt}\cdot T=20^\circ\cdot ke^{kt} \\ \left(e^{kt}\cdot T\right)^\prime=20^\circ\cdot ke^{kt} \\ e^{kt}\cdot T = 20^\circ\cdot e^{kt}+C \\ T=\frac{20^\circ\cdot e^{kt}+C}{e^{kt}}[/tex]

Prøver å finne konstantene:

[tex]T(10)=80^\circ \Leftrightarrow \frac{20^\circ\cdot e^{10k}+C}{e^{10k}}=80^\circ \\ 20^\circ\cdot e^{10k}+C=80^\circ\cdot e^{10k} \\ C=60^\circ\cdot e^{10k}[/tex]

EDIT:

[tex]T(0)=100^\circ \Leftrightarrow 20^\circ +C=100^\circ \\ C=80^\circ[/tex]


[tex]80^\circ=60^\circ\cdot e^{10k} \\ \frac43=e^{10k} \Leftrightarrow \ln(\frac43)=10k \\ k=\frac{\ln\left(\frac{4}{3}\right)}{10}[/tex]

EDIT2:

Slik at

[tex]T=\frac{20^\circ\cdot e^{\frac{\ln\left(\frac{4}{3}\right)}{10}\cdot t}+80^\circ}{e^{\frac{\ln\left(\frac{4}{3}\right)}{10}\cdot t}}[/tex]

Ble det riktig eller?

EDIT:

Endret slik at [tex]k[/tex] blir riktig.

[meCarnival]

Eh, ja da ar jeg på villspor igjen.. Skjønner ikke hva du gjør mellom tredje og fjerde ledd... Hvorfor står du fortsatt igjen med T'? Jeg trodde du integrerte og da blir vel den borte? Jeg likte min metode bedre på en måte, men det er fordi jeg kjenner den og ikke sett denne metoden før... ... Men hvor får du ke^{kt} fra inni noen av leddene? Hjelper med en liten kort forklaring om starten din hadde jeg satt pris på ... DA lærer jeg enda e metode som kan være anvennlig til senere bruk..

[espen180]

Jeg brukte metoden med integrerende faktor. Den funker slik:

Vi begynner med en lineær førstegrads differensialligning.

[tex]a(x)y^\prime+b(x)y=c(x)[/tex]

Vi deler med a(x) overalt i ligningen:

[tex]y^\prime+\frac{b(x)}{a(x)}=\frac{c(x)}{a(x)} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow \\ y^\prime+p(x)y=q(x)[/tex]

Her kommer den integrerende faktoren inn. Vi vil trekke sammen venstresiden ved hjelp av produktregelen innen derivasjon. Sinden vi vet at [tex](e^{u})^\prime=u^\prime\cdot e^{u}[/tex], kan vi sette integrerende faktor til [tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex]. Nå kan vi gange gjennom med den integrerende faktoren og trekke sammen:

[tex]e^{\int p(x)\rm{d}x} \, \cdot y^\prime+p(x)\cdot e^{\int p(x)\rm{d}x} \, \cdot y=q(x)\cdot e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex]

Vi trekker sammen til

[tex]\left(e^{\int p(x)\rm{d}x} \, \cdot y\right)^\prime=q(x)\cdot e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex] (Du ser at dette virker?)

Ved å integrere begge sider av uttrykket får vi

[tex]e^{\int p(x)\rm{d}x} \, \cdot y=\frac{q(x)}{p(x)}\cdot e^{\int p(x)\rm{d}x} \, +C[/tex]

Vi isolerer y og får

[tex]y=\frac{\frac{q(x)}{p(x)}e^{\int p(x)\rm{d}x} \, +C}{e^{\int p(x)\rm{d}x}}[/tex]

Med mindre jeg rota det til så er det slik det henger sammen.

Spørsmål?:P