Komplekse tall...

[meCarnival]

Har noen oppgaver jeg lurer på når det gjelder komplekse tall som jeg gjerne skulle vite hvordan jeg skal håndtere...

Oppgave 1
Skriv de komplekse tallene [tex]z_1 = -1-2i+\frac{(5+5i)}{(1+3i)}[/tex] og [tex]z_2 = \( \frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{6}}{2}\)^{10}[/tex] på formen [tex]z = a +ib[/tex]

Får [tex]z_1 = 1-3i[/tex] som er riktig...

Men skjønner ikke helt [tex]z_2[/tex]. Kommer ikke langt. som jeg tror er riktig etter sånn boka har gjort med et annet stykke men det er inngår polarform som jeg ikke tror blandes inn her eller må det det?
Sett bort fra det iogmed svaret skal ende opp med [tex]-16+16\sqrt{3}i[/tex]

Har bare kommet hit siden jeg er usikker på hvordan jeg skal håndtere den videre:

[tex]z_2 = \( \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i\)^{10}[/tex]

[tex]z_2 = \frac{1}{2}\(\sqrt{2}-\sqrt{6}i\)^{10}[/tex]



Oppgave 2
Bestem Re-del, Im-del, modul og hovedargument for komplekse tallet [tex]z = e^{1+5i}[/tex]...

Her gjør jeg slik [tex]z = e^{1+5i} \Rightarrow z = e^1 \cdot e^{5i}[/tex], men får ikke det riktig videre da...!
Er det feil start?
Ser liksom ikke så veldig mange andre alternativer og da er ln utelukket siden det gir ln til z...


Komplekse tall er helt nytt for meg og lest de sidene om det i boka fire ganger og synes det er greit, men ingenting er så veldig relatert til oppgavene jeg skal løse...
Gjerne kom med tips i første omgang så jeg kan prøve selv...
Foreleseren min er ny i kurset så ville ikke svare sikkert på ting siden jeg ligger litt foran og liker å lese meg opp før forelesningene... Så vært der også å spurt

[Gustav]

Hint:

[tex]z_2=2^{5}(\cos(\frac{\pi}{3})-i\sin(\frac{\pi}{3}))^{10}=2^5e^{-\frac{10\pi i}{3}}=2^5e^{\frac{2\pi i}{3}}=2^5([/tex]

Hva i alle dager mener du med "bestem ditt og datt"??

Du kan godt ta logaritmen til komplekse tall, men det blir vel en multifunksjon, så du må styre med branch cuts etc.

[meCarnival]

Realdel, Imaginærdel, hovedargument og modul mener jeg med det ... Men det er ikke det som er vesentlig for oppgaven fordi det tror jeg skal klare å finne når jeg har det komplekse tallet på z = a+bi form...

Vet ikke helt hva du mente med hintet, men skal lese om omforminge en gang til siden jeg tror jeg misforstod noe i boka når jeg ser hintet ditt...

[Gustav]

Man har generelt den fine formelen

[tex]e^{\theta i}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)[/tex].

Det er bare den jeg har brukt i hintet:)

Bruk denne formelen i den andre oppgaven også

[meCarnival]

Ok... Mat så teste ut... poster nok noe hvis jeg ikke kommer noen vei

[espen180]

Kan jo hende at du bare skal gange ut da, for å gjøre deg vant med det.

Jeg får [tex]\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{10}=-16+i16\sqrt{3}[/tex]

[Realist1]

Kan jo hende at du bare skal gange ut da, for å gjøre deg vant med det.

Jeg får [tex]\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{10}=-16+i16\sqrt{3}[/tex]

Ganget du parantes for parantes, ti ganger? Hvor lang tid tok det?

[Emilga]

Pascals talltrekant kan brukes til å gange ut parenteser på formen [tex](a + b)^n[/tex]. (Jeg vet ikke om det finnes andre metoder.

[Realist1]

Selvfølgelig, tenkte ikke over den.

[meCarnival]

Pascals talltrekant kan brukes til å gange ut parenteser på formen [tex](a + b)^n[/tex]. (Jeg vet ikke om det finnes andre metoder.

Nettopp..
Skrev " uaktuelt å gange ut nˆ10 osv, og et fins det vel formel for", men sovna litt på sofaen... og tror ikke den trekant greie er nevnt, hvertfall ikke enda... Fant to sider jeg glemte å lese om komplekse tall så ta med de også når jeg er igang =)... Tror jeg skal gjøre det helt plaint for å komme frem til z = x + yi og ikke styre for mye... Kommer jeg frem til svaret med din måte espen180?

[Gustav]

Tro meg, man skal ikke gange ut på noen som helst måte. Oppgaver som disse skal løses på den måten jeg har foreslått i et tidligere innlegg, dvs. ved bruk av Eulers formel!

Dermed basta!:)

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula

[=)]

det alle sier på forskjellige måter:

[tex]z^n = r^n(i\sin(x)+\cos(x))^n = r^n(i\sin(nx)+\cos(nx))[/tex]

edit: som forøvrig heter de'moivres formel eller noe sånnt.

[espen180]

Enhver (riktig) fremgangsmåte vil gi deg rett svar, enten du velger å bruke Pascals trekant, Eulerformelen eller å gange ut. Spørsmålet du må stille deg selv er hvor tungvint du gidder å gjøre det. Selv anbefaler jeg plutacros forslag, men til syvende og sist er det opp til deg. (Du har forresten sannsynligvis ikke tid til å gange ut og gjøre det "manuelt" på eksamen...)

[meCarnival]

det alle sier på forskjellige måter:

[tex]z^n = r^n(i\sin(x)+\cos(x))^n = r^n(i\sin(nx)+\cos(nx))[/tex]

edit: som forøvrig heter de'moivres formel eller noe sånnt.

Denne kjenner jeg igjen, ja... Det står Teorm i boka =)...

Det var den jeg satt og så på i stad men kom ingen vei men prøver igjen også den Eulers metode =)

[meCarnival]

Enhver (riktig) fremgangsmåte vil gi deg rett svar, enten du velger å bruke Pascals trekant, Eulerformelen eller å gange ut. Spørsmålet du må stille deg selv er hvor tungvint du gidder å gjøre det. Selv anbefaler jeg plutacros forslag, men til syvende og sist er det opp til deg. (Du har forresten sannsynligvis ikke tid til å gange ut og gjøre det "manuelt" på eksamen...)

Nei, og gange ut er ikke aktuelt, men har

Eulers som enkelst ellers også Abreham de Movire teorem som alternativer til løsning...