Sum

[moth]

Hei, noen som kan fortelle meg om dette kan stemme? Er usikker hva man gjør når det er uendelig med i bildet.

[tex]\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{e^{i\pi k}}=\frac{\infty+i\infty}{2}[/tex]

På forhånd takk.

[Thales]

du kan da vel ikke dele uendelig på 2

[moth]

Hvorfor ikke?

[Vektormannen]

Uendelig er jo ikke et tall... Det er et konsept, det betyr bare at noe er uendelig stort. Hvorfor skulle man skille mellom uendelig og uendelig / 2?

[moth]

Jeg vet det og det er derfor jeg lurer. Men hvordan kan man ellers løse denne oppgaven?

[moth]

Kanskje det går an å skrive den om slik:

[tex]\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{e^{i\pi k}}=\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{e^{i\pi 2k}}+\sqrt{e^{i\pi(2k-1)}}[/tex]

Så får jeg [tex]\infty+i\infty[/tex] til svar. Kan det stemme?

[moth]

Hvordan behandler man egentlig summer som går mot uedndelig? Er det noen spesielle regler som gjelder? Blir dette riktig f.eks.:

[tex]\sum_{k=1}^\infty k=\infty[/tex]

?

[moth]

Ingen hjelp å få her? Kun sure oppstøt fra vektormannen?

[drgz]

Ingen hjelp å få her? Kun sure oppstøt fra vektormannen?

det eneste jeg kommer på i farten er at du kan skrive om summen litt.

[tex]\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{e^{i\pi k}} \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{k} - 1 = \frac{1}{1-e^{i\frac{\pi}{2}}} - 1 \Leftrightarrow \frac{e^{i\frac{\pi}{2}}}{1-e^{i\frac{\pi}{2}}} \Leftrightarrow = \frac{i}{1-i} \Leftrightarrow \frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)} \Leftrightarrow = \frac{1}{2}(i-1)[/tex]

generelt sett når du har uendelige rekker så avhenger det av selve rekken hva en kan gjøre for å finne hva den konvergerer mot (gitt at den konvergerer og ikke divergerer).

[Vektormannen]

Kan ikke se at svaret mitt var et "surt oppstøt", men ...

Angående summen din i forrige post så er det jo opplagt at den er uendelig stor -- hvis du legger sammen uendelig mange større og større tall, vil jo summen av dem bli uendelig stor. Når det gjelder å finne summer med uendelig mange ledd, kommer det helt an på hvordan leddene ser ut. Det kan f.eks. være en geometrisk rekke der hvert ledd blir mindre og mindre slik at summen går mot et bestemt tall, teleskoprekker, osv.

[moth]

Tusen takk for svarene, og beklager til vektormannen

[moth]

[tex]\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{e^{i\pi k}} \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{k} - 1[/tex]

Er [tex]i[/tex] opphøyd i 0 = -1? Det visste jeg ikke.

[Vektormannen]

Såvidt jeg kan se har han bare endret nedre grense fra 1 til 0. For å kompensere må man da trekke fra 1, siden det 0'te leddet er [tex]e^0 = 1[/tex].

[moth]

Ja, jeg så det akkurat jeg og. Jeg skjønte ikke hvorfor det stod minus og ikke pluss 1. Men det er selvfølgelig som du sier.

[moth]

Og bare for å være sikker. [tex]i^0[/tex] må vel bli 1 eller hva?