Parametriserte kurver

[Aksel]

Spørsmål 1:

Dette er egentlig en integrasjonsoppgave. Oppgaven lyder som følger:
Finn buelengden til kurven:
r(t) = (t[sup]2[/sup], t[sup]3[/sup])
t [0,10]

Da er det jo "bare" å bruke formelen for buelengden med de deriverte komponentene til r(t) som blir:

[symbol:integral] [symbol:rot] 4t[sup]2[/sup] + 9t[sup]4[/sup] dt

eller evt:

[symbol:integral] t [symbol:rot] 9t[sup]2[/sup] + 4 dt

Problemet mitt er at jeg nå ikke finner ut åssen jeg skal løse dette integralet.. Jeg har prøvd med substitusjon og delvis integrasjon, men alle mulighetene blir jo bare seende helt forferdelige ut...
Any help?

Spørsmål 2:
Denne oppgaven omhandler kjerneregelen for parametriserte kurver, og lyder slik:

Anta at [symbol:funksjon] [tex](x,y)[/tex] = x[sup]2[/sup]y[sup]3[/sup]og r(t) = t[sup]2[/sup]i+3tj.
Regn ut g'(t) når g(t) = f(r(t))

r(t) er forøvrig en vektor men jeg finner ikke dette tegnet

Har lest gjennom teorien flere ganger, men skjønner ikke hva dem egentlig vil at jeg skal gjøre. Hvor kommer i og j fra i r(t)? Har dette noe med vektorprodukt eller noe? Mulig jeg husker feil... Jeg regner med at g'(t) = f'(r(t))r'(t) hvertfall, men hvordan regne ut f'(r(t)) når r(t) ikke er gitt på komponentform? Eller er det det? Håper på litt hjelp..

På forhånd takk

[zell]

[tex]\vec{r}(t) = [t^2,t^3][/tex]

[tex]\vec{v}(t) = [2t,3t^2][/tex]

[tex]L = \int_0^{10}\sqrt{4t^2+9t^4}\rm{d}t[/tex]

[tex]\int_0^{10}t\sqrt{4+9t^2}\rm{d}t[/tex]

En fin substitusjon her hadde jo vært: u = 4+9t^2

[Aksel]

Ja, huff.. Ikke vet jeg hvorfor jeg ikke tenkte på det.

Men fortsatt et lite problem. Jeg får at:
(904)[sup]3/2[/sup]/27

mens i fasiten står det:
(904)[sup]3/2[/sup]-8/27

Hvor kommer 8 tallet fra?

EDIT: lol, glem det........
Noe hjelp å hente til den andre oppg eller?

[Vektormannen]

Såvidt jeg vet er vel i og j enhetsvektorene langs henholdsvis x- og y-aksen. [tex]\vec{r}(t) = t^2 i + 3t j[/tex] er altså en annen måte å skrive [tex]\vec{r}(t) = [t^2, 3t][/tex] på.

Hva sier fasiten på oppgave 2? Jeg er ganske usikker, men for å finne g'(t) kan du vel finne [tex]g(t) = f(\vec{r}(t))[/tex] først, for så å derivere g med hensyn på t?

[Aksel]

Såvidt jeg vet er vel i og j enhetsvektorene langs henholdsvis x- og y-aksen. [tex]\vec{r}(t) = t^2 i + 3t j[/tex] er altså en annen måte å skrive [tex]\vec{r}(t) = [t^2, 3t][/tex] på.

Hva sier fasiten på oppgave 2? Jeg er ganske usikker, men for å finne g'(t) kan du vel finne [tex]g(t) = f(\vec{r}(t))[/tex] først, for så å derivere g med hensyn på t?

Fasit: 189t[sup]6[/sup].

Jeg trodde at i og med at denne oppgaven ligger under "Kjerneregelen for parametriserte kurver" så skulle man bare bruke kjerneregelen på g(t)=f'(r(t))r'(t) der f'(t) er jacobi-matrisen til f(t)?! Eller er jeg på jordet nå?
Skal prøve løse oppgaven i morra (orker ikke nå ) for hovedsakelig skjønte jeg ikke hva r(t) med disse i og j-ene stod for. Det ikke var noe eksempel i boka med slike i og j-er. Men takk for hjelpen. Jeg tror det kan stemme at det er en annen måte å skrive vektoren på, som du sier

[Vektormannen]

Som sagt, finn [tex]f(\vec{r}(t))[/tex]. Det gjør du ved å plugge x-komponenten til [tex]\vec{r}(t)[/tex] inn for x i f og y-komponenten til [tex]\vec{r}(t)[/tex] inn for y i f. Resultatet blir en funksjon g(t) som du veldig lett kan derivere.