Vektorer i rommet?? Finn koordinater? Hjelp

[onkelskrue]

Hey, her er en oppg jeg ikke får helt til! Noen som har noen tips.

ABC er punktene A(1, 0, 1) B(2, 5, 3) C(3, 4, 4)

Et punkt N ligger på linje gjennom B og C slik at AN står vinkelrett på BC

Finn koordinatene til N.

Tips please!

[Vektormannen]

Finn et uttrykk for [tex]\vec{AN}[/tex] (tenk at [tex]\vec{BN} = k \cdot \vec{BC}[/tex].) Hva vil det si for vektorene [tex]\vec{AN}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex] at AN står vinkelrett på BC?

[Gommle]

Jeg kan ikke noe som helst om vektorer i rommet, og nesten ikke vanlige vektorer en gang, men jeg prøver likevel. Dette er mest sannsynlig helt på trynet feil.

Først finner jeg [tex]\vec{BC}[/tex]:

[tex]\vec{BC} = [3, 4, 4]-[2, 5, 3] = [3-2, 4-5, 4-3] = [1, -1, 1] [/tex]

Og så [tex]\vec{AN}[/tex] og jeg kan bytte ut y og z pga. vektoren er parallell med vektor BC.

[tex]\vec{AN} = [x, y, z]-[1, 0, 1] = [x-1, y, z-1] = [x-1, -x, x-1][/tex]

Og skalarproduktet 0, og jeg kan regne ut.

[tex][x-1, -x, x-1]\cdot [1, -1, 1] = 0 \Leftrightarrow x-1+x+x-1 = 0 \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}[/tex]

Og nå kan jeg finne vektor AN og punktet N.

[tex]\vec{AN} = [\frac{-1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}][/tex]

[tex]N = A(1, 0, 1)+[\frac{-1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}] = (\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})[/tex]

[Vektormannen]

Det tror jeg blir feil. Jeg får [tex]N = (\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{5}{3})[/tex]. Kan være det er jeg som slurver her da. Men hva mener du med at du kan "bytte ut y og z pga. vektoren er parallell med vektor BC"?

edit: mente sjølsagt N, ikke A...

[Gommle]

Tanken var at hvis [x, y, z] er parallell med [1, -1, 1] så er [x, y, z] det samme som [x, -x, x]

[Vektormannen]

Hm, hvordan kan vektoren fra origo til N (det er vel det [x,y,z] er?) være parallell med vektor BC?

[Gommle]

Nei, en vektor har ikke noe startpunkt.

Uansett så jeg en ganske åpenbar feil i utregningen nå. Blandet vektor BC med en annen vektor, som har ledet til mye annet tull.

[Vektormannen]

Såklart har den ikke et startpunkt, men med "vektoren fra origo til N" mener jeg en beskrivelse av vektoren da -- parallell og like lang som linjestykket fra origo til N.

(En liten og kanskje litt unødvendig sidenotis: vektorer og punkter kan ikke summeres osv. (de er ikke av samme "klasse"/"datatype" for å bruke programmeringssjargong :p). For å angi et punkt som en vektor bruker man en posisjonsvektor som beskriver avstanden fra origo til punktet. I denne oppgava har vi f.eks. at [tex]\vec{OA} = [1,0,1][/tex] er posisjonsvektoren til punktet A. Å blande punkt og vektorer liker i alle fall ikke min lærer ...)

[Gommle]

Har aldri vært en kløpper på notasjon, men nå vet jeg hvordan det skrives.

(...og nå kan vi overlate resten til trådstarter.)

[Hsamuelsen]

1. [AN]*[BC]=0
2. [BN]=k[BC]
Først finner vi utrykk for den første ligningen.
[x-1,y,z-1]*[1,-1,1]=0
(x-1)-y+(z-1)=0
Så hopper vi til den andre.
som er:
[x-2,y-5,z-3]=k[1,-1,1]
Dette gir ligningene
x-2=k y-5=-k z-3=k
Du bruker disse ligningen til å erstatte x,y og z i den ligning nr.1. Og får k=2/3. Denne verdien bruker du til å løse for x,y og z i ligning nr.2 og får:
x=8/3 y=13/3 z=11/3

Sorry for sent svar