Flateintegral på bit av kulelegeme

[ventle]

Hei,

jeg skal finne flateintegralet av ett vektorfelt som krysser en bit av ett kuleskall. Kula har radius lik rota av 2, sentrum i origo og biten det skal integreres på er den delen av skallet som ligger over z = 1.

vektorfeltet er forholdsvis enkelt med koeffisenter F = [x,y,z].

Jeg tror jeg har klart å sette opp integralet riktig:
$\int \int FndS$

der

$F=[x,y,z]$

og

$ndS=[\frac{\delta z}{\delta x},\frac{\delta z}{\delta y},-1]$
(delta'en skal være symbolet for partiellderivert).

gitt at jeg er på rett spor, gjenstår da problemet:
- å finne ett uttrykk for z av x og y
- å sette opp områdebeskrivelsen.

På forhånd takk for hjelpen!

[SonGoku]

Er en stund siden jeg hadde dette så jeg er ikke hundre prosent sikker, men tror at du kan benytte divergenssetningen ved å tenke på T som volumet begrenset av kuleskallet S1 og "bunnen" S2 som er flaten z=1. Da blir integralet noe slikt som dette:


$\int {\int }_{S_1}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n_1}dS=\int {\int }_T\int \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}dV-\int {\int }_{S_2}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n_2}dS$

$={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /4}{\int }_{1/\cos (\varphi )}^{\sqrt{2}}3{\rho }^2\sin (\varphi )d\rho d\varphi d\theta -\int {\int }_{S_2}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n_2}dS$

Her har jeg stilt opp grensene for volumet av T, prøv og tenk etter hvorfor de er som de er. For utregning av flateintegralet over S2 bør du tenke på hva retningsvektoren $\overrightarrow{n_2}$ er for noe så skulle ikke det bli helt uoverkommelig.

Håper jeg ikke har bommet grovt nå for da vil jeg sikkert få høre det

[fish]

På et kuleskall om origo med radius $\sqrt{2}$ gjelder at
$\overrightarrow{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}[x,y,z]$ for et punkt $(x,y,z)$ på flaten. Dette gir
$\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x^2+y^2+z^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2=\sqrt{2}$
Videre har vi (avledet av kulekoordinater) $dS=(\sqrt{2}{)}^2\sin \varphi d\varphi d\theta$
Forsøk å finne grensene i $\varphi$ og $\theta$ ut fra opplysningene i oppgaven.