Derivasjon av trigonometrisk funksjon

[akihc]

Hvordan deriverer man denne? ;

[tex]sin^2 x[/tex]

[drgz]

du kan enten bruke kjerneregelen:
[tex]\left(g(h(x))\right)^{\prime}=g^{\prime}(h(x))\cdot h^{\prime}(x)[/tex]

eller du skrive om funksjonen din (og derivere etter å ha skrevet den om):
[tex]\sin^{2}(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x))[/tex]

herfra burde du klare det

[akihc]

Jeg går ikke løs på noe (ang.tips 2 fra deg) før jeg får forklart hvordan den omskrevne funksjonen ble til.

Derfor løste jeg den ved hjelp av produktregelen. :]

[Vektormannen]

Det der er ikke kjerneregelen, claudeShannon, det er produktregelen. Men det er nok kjappest å bruke kjerneregelen som du foreslår. Er bare å huske på at [tex]\sin^2x[/tex] bare er en annen skrivemåte for [tex](\sin x)^2[/tex].

[akihc]

Det er kjappest å bruke produktregelen.

[drgz]

Det der er ikke kjerneregelen, claudeShannon, det er produktregelen.

doh, totalt på bærtur! gikk litt vel fort i svingene da jeg skulle skrive den ut, men jeg mente selvsagt kjerneregelen slik den faktisk er hehe. skal rette opp første innlegget

[akihc]

Har du bevis for denne?;

[tex]\sin^{2}(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x))[/tex]

[Vektormannen]

Det er bare snakk om å snu på en av de tre vanlige formlene for cosinus av en dobbetl vinkel, som kan utledes vha. f.eks. vektorregning i kombinasjon med pytagoras:

[tex]\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x[/tex]

Men på denne derivasjonen trenger du som sagt ikke bruke denne! Bare bruk kjerneregelen:

[tex]f(x) = \sin^2 x = (\sin x)^2 = u^2, \ \ u = \sin x[/tex]

[tex]f^\prime(x) = f^\prime(u) \cdot u^\prime = 2u \cdot (\sin x)^\prime = 2\sin x \cos x[/tex]

Den kan evt. skrives som [tex]\sin(2x)[/tex].

[drgz]

Jeg går ikke løs på noe (ang.tips 2 fra deg) før jeg får forklart hvordan den omskrevne funksjonen ble til.

du må bruke at
1) [tex]\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)[/tex]
2) [tex]\cos(\alpha - \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)[/tex]

hvis du så ser på 2) - 1) vil du ha: [tex]\cos(\alpha - \beta)-\cos(\alpha + \beta)=2\sin(\alpha)\sin(\beta)[/tex]

i tilfellet [tex]\sin^{2}(x)[/tex] er [tex]\alpha = \beta[/tex], slik at du har

[tex]\cos(\alpha - \alpha)-\cos(\alpha + \alpha) = 2\sin^{2}(\alpha)\Leftrightarrow \cos(0)-\cos(2\alpha)=2\sin^{2}(\alpha)\Rightarrow \sin^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2\alpha)\right)[/tex]

[akihc]

[tex]\cos(\alpha - \alpha)-\cos(\alpha + \alpha) = 2\sin^{2}(\alpha)\Leftrightarrow \cos(0)-\cos(2\alpha)=2\sin^{2}(\alpha)\Rightarrow \sin^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2\alpha)\right)[/tex]

Jeg lurer på;

1. Etter den siste likhetstegnet så står det [tex] \; \frac{1}{2} \;[/tex] foran utrykket i parentes, uttrykket i parentes skjønte jeg,men jeg skjønte ikke hvorfor det står [tex]\frac{1}{2}[/tex] ?

[drgz]

se på det du har sitert en gang til. svaret på det du lurer på står der

[akihc]

Nå skjønte jeg det.

Det er fordi det er 2 foran sin^2 . Setter pris på beviset.

[akihc]

[tex]f^\prime(x) = f^\prime(u) \cdot u^\prime = 2u \cdot (\sin x)^\prime = 2\sin x \cos x[/tex]

Den var enklest og raskest nå som jeg har tenkt over. Takk for den du!