Invers av Jacobi-matrise

[chrtsta]

Heisann.

Jeg har gitt en vektorfunksjon fra R2 til R2. En oppgave går ut på å skrive et program som bruker en form av Newtons metode for å finne nullpunktene til funksjonen. Metoden innebærer å bruke den inverse av jacobi-matrisen til funksjonen. Ettersom jeg løser oppgaven numerisk har jeg ikke problemer med å først finne jacobi-matrisen i punktet for så å finne den inverse matrisen. Dog holder jeg på med en annen oppgave hvor jeg muligens kommer inn på å bruke denne inverse matrisen direkte analytisk. Spørsmålet er da om en slik invers Jacobi-matrise finnes på en generell basis (samme som at Jacobi-matrisen er definert ved partiellderivere funksjonene over alle variablene)?

Mvh,
Christoffer

[Gustav]

Du har altså en kontinuerlig deriverbar funksjon [tex]x=(x_1(y_1,y_2),x_2(y_1,y_2)):R^2 \to R^2[/tex] og vil vite om Jacobimatrisen er inverterbar i alle punkter? Det er den vel ikke nødvendigvis, men dersom Jacobideterminanten er ulik 0 i et punkt p fins det en åpen omegn U om p slik at den inverse eksisterer i hele U.

Vet ikke om dette er svar på spørsmålet, men..

[chrtsta]

Nei, spørsmålet er heller om det finnes en gerenell fremgangsmåte å finne en slik invers av Jacobi-matrisen?

[Gustav]

Den inverse av en 2x2 jacobimatrise er gitt som en hvilken som helst invers:
Gitt
[tex]J=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x } & \frac{\partial f_1}{\partial y }\\ \frac{\partial f_2}{\partial x } & \frac{\partial f_2}{\partial y }\end{pmatrix}[/tex]

[tex]J^{-1}=\frac{1}{\frac{\partial f_1}{\partial x }\frac{\partial f_2}{\partial y }-\frac{\partial f_1}{\partial y }\frac{\partial f_2}{\partial x }}\begin{pmatrix}\frac{\partial f_2}{\partial y } & -\frac{\partial f_1}{\partial y }\\ -\frac{\partial f_2}{\partial x } & \frac{\partial f_1}{\partial x }\end{pmatrix}[/tex]

[chrtsta]

Beklager litt sen respons, men mange takk