seperable diff. likninger (løst)

[pandorasbox]

har har følgende likning som må finne løsningen:

1) $\frac{dy}{dx}=\sqrt{y+1}cosx$
og
2) $(x^2+1)\frac{dy}{dx}=x^{+}x-1+4xy$

1)

$\frac{dy}{dx}=\sqrt{y+1}cosx$
$\frac{1}{\sqrt{y+1}}=cosxdx$ integrer begge sider og får

$2\sqrt{y+1}=sinx+C$

$2\sqrt{y+1}-sinx=C$

2)
$(x^2+1)\frac{dy}{dx}=x^{+}x-1+4xy$

$\frac{dy}{dx}-4xy=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}$

$-4xydy=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}dx$

$ydy=-\frac{x^2+x+1}{4x(x^2+1)}dx$ integrer begge sider og får


$\frac{1}{2}y=-\int \frac{x^2+x+1}{4x(x^2+1)}dx$


selv føleg jeg at jeg har riktig, men innerst inne sier jeg at eg har gjort en feil som jeg er ikke helt klar over... kan noen bekrefte at det jeg har gjort er riktig ?

hvis feil, forklar gjerne med ord istedet å bruke tid på å finne løsningen til meg, vil gjerne ikke ha løsning, bare framgangsmåte

[meCarnival]

1) kan jo finne ut løsning mhp y som du skal gjøre?

2) hva gjør du med dy/dx fra linje to til tre...?

[pandorasbox]

1) kan jo finne ut løsning mhp y som du skal gjøre?

2) hva gjør du med dy/dx fra linje to til tre...?

1) helt fram til siste linjen, så er det riktig sant? for meg så er det nok å vise $\ast \ast \ast \ast \ast =C$

2) ganger med dx for integrere begge sider etter på


EDIT: oi oi oi :-s jeg kan ikke gange med dx !!!! hva gjør jeg der a ?

[meCarnival]

du har jo to ledd på venstre siden da... og mange på venstre siden... enten parenteser må frem her eller finne på en annen måte og få det til på...

du har jo ikke jo ferdig oppgave 1 hvis du setter alt lik C... separabel diff likn skal du jo finne y(x)...

[Bogfjellmo]

1'ern ser ganske bra ut. Du kan, som meCarnival sier, finne et eksplisitt uttrykk for y, men det er bare algebra, og om du er fornøyd med et implisitt uttrykk, er det ikke noe galt i det.

men

$\frac{dy}{dx}-4xy=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}$

$-4xydy=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}dx$

er veldig galt. Du kan gange med dx. (Det er misbruk av notasjon, men det gjør vi hele tida). Men om du gjør det, må du gjøre det riktig.

[pandorasbox]

men

$\frac{dy}{dx}-4xy=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}$

$-4xydy=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}dx$

er veldig galt. Du kan gange med dx. (Det er misbruk av notasjon, men det gjør vi hele tida). Men om du gjør det, må du gjøre det riktig.

om jeg ikke gjør det... finnes det andre måter å løse denne oppgaven ?

[Gustav]

For å unngå å gange med differensialer, så kan du bruke "Second Fundamental Theorem of Calculus"

[pandorasbox]

ok, nå er jeg helt borte! kan noen gi hint da ? vil heller bruke diff. !

[Gustav]

Ser ut som du har en ikke-eksakt ligning igjen, så hadde jeg vært deg ville jeg prøvd å gange med en integrerende faktor for å transformere til en eksakt ligning.

Du har dessuten gjort et par feil i de første 2-3 linjene i løsningen din i oppg. 2: På mystisk vis har du gjort om en ligning som i utgangspunktet ikke er separabel til en separabel ligning.

[Gustav]

$(x^2+1)\frac{dy}{dx}=x^2+x-1+4xy$


$\frac{dy}{dx}-\frac{4x}{x^2+1}y=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}$

Gang begge sider med integrerende faktor

$e^{\int \frac{-4x}{x^2+1}dx}$

Da får du følgende:

$\frac{d}{dx}\left(y{e}^{\int \frac{-4x}{x^2+1}dx}\right)=\frac{x^2+x-1}{x^2+1}{e}^{\int \frac{-4x}{x^2+1}dx}$

Integrer begge sider mhp x...

[pandorasbox]

nå er jeg med, takker !