Basis og koordinatvektorer...

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Hei...

Ny oppgave jeg ikke helt forstår hva fasiten driver med... eller kanskje det er meg? ;)
a)
Vis at [tex]\{[2\,\,1\,\,3\,\,4]^T, [1\,\,0\,\,2\,\,3]^T, [0\,\,0\,\,1\,\,2]^T, [0\,\,0\,\,0\,\,1]^T\}[/tex] er en basis for [tex]R^4[/tex]

b)
Bestem koordinatvektoren til [tex][1\,\,1\,\,0\,\,1]^T[/tex] mhp på basisen i a)



a)
Antallet vektorer er lik dimensjonen til [tex]R^4[/tex] så er det nok å vise at settet er lineær uavhengig.
Bruker rangmetoden til det og får:

[tex]A = [\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4] = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix}[/tex] og får ut: [tex]\begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}[/tex]

[tex]rang(A) = 4 \Leftrightarrow S = \left\{\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4 \right\}[/tex] er lineært uavhenig...


b)
La [tex]\mathbf{x}[/tex] være en vilkårlig vektor i [tex]R^4[/tex]. Koordinatvektoren [tex]\[\mathbf{c}_1\,\,\mathbf{c}_2\,\,\mathbf{c}_3\,\,\mathbf{c}_4\,\,\][/tex] til [tex]\mathbf{x}[/tex] mhp basisen, [tex]S = \left\{\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4 \right\}[/tex] er bestemt av

[tex]\mathbf{x} = \mathbf{c}_1\mathbf{a}_1 + \mathbf{c}_2\mathbf{a}_2 + \mathbf{c}_3\mathbf{a}_3 + \mathbf{c}_4\mathbf{a}_4 = A\mathbf{c} \Rightarrow \mathbf{c}=A^{-1}\mathbf{x}[/tex]

Jeg fått [tex]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}[/tex]

[tex]\Rightarrow \mathbf{c} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}\mathbf{x} \Rightarrow \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\-2\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2}&-2&1&0\end{bmatrix}^T[/tex]



Fasit på b):
[tex]\begin{bmatrix}1&-1&-1&2\end{bmatrix}^T[/tex]


Noen som ser noe feil? hvis mellomregninger skal vises så si ifra det.. gått over oppgave 3 ganger og får samme svarene... :roll:
Last edited by meCarnival on 25/02-2009 18:34, edited 1 time in total.
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

I a) kunne du bare beregnet determinanten til A matrisen og funnet at den var ulik 0. Noe som betyr at rangen er maksimal, =4.

Oppg. b) er også rett
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Ja, det er sikkert og en mulighet.. Har en oppgave som er så og si prikk lik bare med [tex]R^2[/tex] og brukte den som en liten mal når jeg ikke skjønte mer, og derfor ser jeg ikke helt hvor feilen har kommet inn hen heller...

Men det er b jeg lurer på... mulig jeg også skriver flere løsninger på a bare for å gjort det også :wink:
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

plutarco wrote:I a) kunne du bare beregnet determinanten til A matrisen og funnet at den var ulik 0. Noe som betyr at rangen er maksimal, =4.

Oppg. b) er også rett
Men jeg får jo ulikt svar iforhold til fasiten da? :roll:
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Du må finne inversen til den oprinnelige matrisen. kanskje du har brukt feil matrise?
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Så du mener mitt svar: [tex]\begin{bmatrix}\frac{3}{2}&-2&1&0\end{bmatrix}^T[/tex] er riktig enn fasiten? Jeg har regnet på det flere ganger og jeg ser ingen feil sånn med en gang, så derfor jeg la ut for å spørre om det er noe jeg har misforstått her =/...
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

[tex]A = [\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4] = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix}[/tex]

Det er denne matrisen du må finne inversen til.

Jeg mener ikke at svaret ditt er riktig, nei. Jeg bare så at fremgangsmåten din var riktig, bortsett fra at du har funnet feil invers av A:)

Det later til at du har funnet inversen av

[tex]\begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}[/tex], noe som ikke er riktig.
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Hmm... du sier noe, skal sjekke papirene min nå også finne isåfall riktig invers så tror jeg er på riktig vei mer eller mindre hvertfall :D..

Takker for svar :wink:
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Nei, jeg har finni inverse til A utifra utgangspunktet og ikke den du trodde... Sjekk om jeg har fått frem riktige inverse kanksje?

Ser igen andre "feil" evt... :roll:
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Har ikke satt meg ordentlig inn i oppgaven (må repetere litt lineær algebra før jeg klarer disse oppgavene), men jeg sjekket i matlab.

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-0.5&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/tex]

og

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}[/tex]

Prøv og bruk den passende verdien og se om du får riktig svar da.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Markonan wrote:Har ikke satt meg ordentlig inn i oppgaven (må repetere litt lineær algebra før jeg klarer disse oppgavene), men jeg sjekket i matlab.

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-0.5&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/tex]

og

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}[/tex]

Prøv og bruk den passende verdien og se om du får riktig svar da.
Den nederste er den riktige inversen
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Fikk den til nå...

Men siden jeg setter inn samme matrise og bytter etterpå, burde ikke jeg få samme svar, men på ulike rader? =S?

Dette er jo to vilt forskjellige svar jeg fikk, bare ved å bytte to øverste radene...!
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Post Reply