Ny oppgave jeg ikke helt forstår hva fasiten driver med... eller kanskje det er meg?

a)
Vis at [tex]\{[2\,\,1\,\,3\,\,4]^T, [1\,\,0\,\,2\,\,3]^T, [0\,\,0\,\,1\,\,2]^T, [0\,\,0\,\,0\,\,1]^T\}[/tex] er en basis for [tex]R^4[/tex]
b)
Bestem koordinatvektoren til [tex][1\,\,1\,\,0\,\,1]^T[/tex] mhp på basisen i a)
a)
Antallet vektorer er lik dimensjonen til [tex]R^4[/tex] så er det nok å vise at settet er lineær uavhengig.
Bruker rangmetoden til det og får:
[tex]A = [\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4] = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix}[/tex] og får ut: [tex]\begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]rang(A) = 4 \Leftrightarrow S = \left\{\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4 \right\}[/tex] er lineært uavhenig...
b)
La [tex]\mathbf{x}[/tex] være en vilkårlig vektor i [tex]R^4[/tex]. Koordinatvektoren [tex]\[\mathbf{c}_1\,\,\mathbf{c}_2\,\,\mathbf{c}_3\,\,\mathbf{c}_4\,\,\][/tex] til [tex]\mathbf{x}[/tex] mhp basisen, [tex]S = \left\{\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4 \right\}[/tex] er bestemt av
[tex]\mathbf{x} = \mathbf{c}_1\mathbf{a}_1 + \mathbf{c}_2\mathbf{a}_2 + \mathbf{c}_3\mathbf{a}_3 + \mathbf{c}_4\mathbf{a}_4 = A\mathbf{c} \Rightarrow \mathbf{c}=A^{-1}\mathbf{x}[/tex]
Jeg fått [tex]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}[/tex]
[tex]\Rightarrow \mathbf{c} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}\mathbf{x} \Rightarrow \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\-2\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2}&-2&1&0\end{bmatrix}^T[/tex]
Fasit på b):
[tex]\begin{bmatrix}1&-1&-1&2\end{bmatrix}^T[/tex]
Noen som ser noe feil? hvis mellomregninger skal vises så si ifra det.. gått over oppgave 3 ganger og får samme svarene...
