Basis og koordinatvektorer...

[meCarnival]

Hei...

Ny oppgave jeg ikke helt forstår hva fasiten driver med... eller kanskje det er meg?
a)
Vis at [tex]\{[2\,\,1\,\,3\,\,4]^T, [1\,\,0\,\,2\,\,3]^T, [0\,\,0\,\,1\,\,2]^T, [0\,\,0\,\,0\,\,1]^T\}[/tex] er en basis for [tex]R^4[/tex]

b)
Bestem koordinatvektoren til [tex][1\,\,1\,\,0\,\,1]^T[/tex] mhp på basisen i a)



a)
Antallet vektorer er lik dimensjonen til [tex]R^4[/tex] så er det nok å vise at settet er lineær uavhengig.
Bruker rangmetoden til det og får:

[tex]A = [\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4] = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix}[/tex] og får ut: [tex]\begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}[/tex]

[tex]rang(A) = 4 \Leftrightarrow S = \left\{\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4 \right\}[/tex] er lineært uavhenig...


b)
La [tex]\mathbf{x}[/tex] være en vilkårlig vektor i [tex]R^4[/tex]. Koordinatvektoren [tex]\[\mathbf{c}_1\,\,\mathbf{c}_2\,\,\mathbf{c}_3\,\,\mathbf{c}_4\,\,\][/tex] til [tex]\mathbf{x}[/tex] mhp basisen, [tex]S = \left\{\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4 \right\}[/tex] er bestemt av

[tex]\mathbf{x} = \mathbf{c}_1\mathbf{a}_1 + \mathbf{c}_2\mathbf{a}_2 + \mathbf{c}_3\mathbf{a}_3 + \mathbf{c}_4\mathbf{a}_4 = A\mathbf{c} \Rightarrow \mathbf{c}=A^{-1}\mathbf{x}[/tex]

Jeg fått [tex]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}[/tex]

[tex]\Rightarrow \mathbf{c} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}\mathbf{x} \Rightarrow \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&1&1&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\-2\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2}&-2&1&0\end{bmatrix}^T[/tex]



Fasit på b):
[tex]\begin{bmatrix}1&-1&-1&2\end{bmatrix}^T[/tex]


Noen som ser noe feil? hvis mellomregninger skal vises så si ifra det.. gått over oppgave 3 ganger og får samme svarene...

[Gustav]

I a) kunne du bare beregnet determinanten til A matrisen og funnet at den var ulik 0. Noe som betyr at rangen er maksimal, =4.

Oppg. b) er også rett

[meCarnival]

Ja, det er sikkert og en mulighet.. Har en oppgave som er så og si prikk lik bare med [tex]R^2[/tex] og brukte den som en liten mal når jeg ikke skjønte mer, og derfor ser jeg ikke helt hvor feilen har kommet inn hen heller...

Men det er b jeg lurer på... mulig jeg også skriver flere løsninger på a bare for å gjort det også

[meCarnival]

I a) kunne du bare beregnet determinanten til A matrisen og funnet at den var ulik 0. Noe som betyr at rangen er maksimal, =4.

Oppg. b) er også rett

Men jeg får jo ulikt svar iforhold til fasiten da?

[Gustav]

Du må finne inversen til den oprinnelige matrisen. kanskje du har brukt feil matrise?

[meCarnival]

Så du mener mitt svar: [tex]\begin{bmatrix}\frac{3}{2}&-2&1&0\end{bmatrix}^T[/tex] er riktig enn fasiten? Jeg har regnet på det flere ganger og jeg ser ingen feil sånn med en gang, så derfor jeg la ut for å spørre om det er noe jeg har misforstått her =/...

[Gustav]

[tex]A = [\mathbf{a}_1\,\,\mathbf{a}_2\,\,\mathbf{a}_3\,\,\mathbf{a}_4] = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix}[/tex]

Det er denne matrisen du må finne inversen til.

Jeg mener ikke at svaret ditt er riktig, nei. Jeg bare så at fremgangsmåten din var riktig, bortsett fra at du har funnet feil invers av A:)

Det later til at du har funnet inversen av

[tex]\begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}[/tex], noe som ikke er riktig.

[meCarnival]

Hmm... du sier noe, skal sjekke papirene min nå også finne isåfall riktig invers så tror jeg er på riktig vei mer eller mindre hvertfall ..

Takker for svar

[meCarnival]

Nei, jeg har finni inverse til A utifra utgangspunktet og ikke den du trodde... Sjekk om jeg har fått frem riktige inverse kanksje?

Ser igen andre "feil" evt...

[Markonan]

Har ikke satt meg ordentlig inn i oppgaven (må repetere litt lineær algebra før jeg klarer disse oppgavene), men jeg sjekket i matlab.

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-0.5&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/tex]

og

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}[/tex]

Prøv og bruk den passende verdien og se om du får riktig svar da.

[Gustav]

Har ikke satt meg ordentlig inn i oppgaven (må repetere litt lineær algebra før jeg klarer disse oppgavene), men jeg sjekket i matlab.

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&-0.5&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/tex]

og

[tex]A = \begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}[/tex]

Prøv og bruk den passende verdien og se om du får riktig svar da.

Den nederste er den riktige inversen

[meCarnival]

Fikk den til nå...

Men siden jeg setter inn samme matrise og bytter etterpå, burde ikke jeg få samme svar, men på ulike rader? =S?

Dette er jo to vilt forskjellige svar jeg fikk, bare ved å bytte to øverste radene...!