Hvor mange tallpar [tex](p,q)[/tex] finnes det som tilfredsstiller
[tex]p^3+q^3=n^2\, ,\,p,q,n\in\mathbb{Z}[/tex]
Har ikke svaret selv.
Antall løsninger
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
?Tatt på fersen. 
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvis jeg skal være i det kjedelige hjørnet, sier jeg at det er uendelig mange løsninger; la p+q=n=0 der p er et heltall.
Hva om vi endrer det slik at [tex]p,q,n\in\mathbb{N}[/tex] da? 
Hva med hvis [tex]p \not= q[/tex]? Blir det noe verre da?
Edit
Nei, da kan man vel bare sette
[tex]p = x^2[/tex] og [tex]q = 2x^2[/tex]. Da får man
[tex]p^3 + q^3 = x^6 + 8x^6 = 9x^6 = (3x^3)^2 = n^2[/tex]
Og vips, uendelig mange løsninger.
Edit
Nei, da kan man vel bare sette
[tex]p = x^2[/tex] og [tex]q = 2x^2[/tex]. Da får man
[tex]p^3 + q^3 = x^6 + 8x^6 = 9x^6 = (3x^3)^2 = n^2[/tex]
Og vips, uendelig mange løsninger.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Generalisering: Vis at [tex]x^n+y^n=z^{n-1}[/tex] der n er et gitt positivt heltall har uendelig mange løsninger i positive heltall.
La [tex]\,x=y=2^{n-2}\cdot k^{n-1}\,[/tex] da har vi:
[tex]x^{n}+y^{n}=2(2^{n-2}\cdot k^{n-1})^{n}=2^{n^2-2n+1}\cdot k^{n^2-n}=(2^{n-1}\cdot k^{n})^{n-1}[/tex]
Det jeg tror hadde vært interessant, hadde vært å spørre om antall løsninger der gcd(x,y)=1...
[tex]x^{n}+y^{n}=2(2^{n-2}\cdot k^{n-1})^{n}=2^{n^2-2n+1}\cdot k^{n^2-n}=(2^{n-1}\cdot k^{n})^{n-1}[/tex]
Det jeg tror hadde vært interessant, hadde vært å spørre om antall løsninger der gcd(x,y)=1...
Hva med å finne antall n slik at
[tex]p^{n+2}+q^{n+2}=k^n\,,\,q,p,k,n\in\mathbb{N}[/tex]
er løselig?
[tex]p^{n+2}+q^{n+2}=k^n\,,\,q,p,k,n\in\mathbb{N}[/tex]
er løselig?