Stokes randkurver

[kthyholdt]

S1: x^2+y^2=1
S2: z=0
S3: z=1+X^2+y^2
C2 er skjæringskurven mellom S1 og S2
C3 er skjæringskurven mellom S1 og S3

Vi har beregnet [symbol:integral] F dr mtp C2 (0) og [symbol:integral] F dr mtp C3 (4 [symbol:pi] )
Oppgaven er å finne sirkulasjon til F rundt C vha av tidligere disse resultatene.
Altså [symbol:integral] [symbol:integral] (Curl F) nds over S1 når n er rettet ut av T


Figuren viser T

[Gustav]

Flere år siden jeg holdt på med slike ting, men såvidt jeg husker blir det noe slikt:

[tex]\int_{S_1}\nabla \times \vec{F} \cdot d\vec{S}=\int_0^1\int_0^{2\pi}\nabla \times \vec{F} \cdot \langle \cos(\theta),\sin(\theta)\rangle d\theta dz[/tex]

Forklaring:

Infinitesimalt areal blir

[tex]d\vec{S}=\vec{n}dA=\vec{n} r d\theta dz=\vec{n} d\theta dz[/tex]. (Radius r=1 på sylinderflata)

Enhetsnormalvektoren blir

[tex]\vec{n}=\langle r\cos(\theta),r\sin (\theta),0 \rangle=\langle \cos(\theta),\sin (\theta),0\rangle[/tex] etter normalisering.