nok et spørsmål om grenser i dobbeltintegral

[Gustav]

Trekanten i dette tilfellet er avgrenset av

[tex]y=0 \\ y=\frac{1}{3}x[/tex] der

[tex]x\in (0,3)[/tex].

Alternativt ville du kunne bruke

[tex]x=1 \\ x= 3y[/tex]

med [tex]y\in (0,1)[/tex]

Integraler over området vil dermed bli på formen

[tex]\int_0^3 \int_0^{\frac{1}{3}x}f(x,y)\,dydx[/tex] eller alternativt

[tex]\int_0^1 \int_{3y}^3f(x,y)\,dxdy[/tex]

hvor f er en eller annen tetthetsfunksjon eller noe.

[tool-nes]

takker for svar
men tenkte på hvordan du har kommet fram til de funksjonene?
hva er fremgangsmåten?

er sikkert barneskolenivå eller noe, men klarer bare ikke å huske hvordan, og ingen forklarer fremsgangsmåten, alle forteller at grensene er dette.. men det kan jo ha noe med at det er så lett at det skal være en selvfølge å skjønne det.. hehe

[zell]

Jeg anbefaler at du slår opp i pensumboka di, regner med det er godt forklart der. Skal uansett prøve å tegne litt for deg:

#1 Integrerer først med hensyn på y, deretter mhp. x:



For å finne grensene til y, trekker vi opp en linje som går parallellt med y-aksen, og ser hvor den skjærer området. Som vi ser av den vertikale hvite pilen på bildet, skjærer linjen i y = 0 og y = x. Følgelig har vi integralet:

[tex]A = \int_a^b\int_0^x \rm{d}y\rm{d}x[/tex]

Så skal vi finne grensene for x, trekker da opp en parallell linje med x-aksen, men vi ser bort fra y = x, fordi vi allerede har brukt den grensen, vi ser da kun på området x er definert for. Altså fra 0 til 1.

Får:

[tex]A = \int_0^1\int_0^x \rm{d}y\rm{d}x = \frac{1}{2}[/tex]

Som jo stemmer med arealformelen for en trekant. høyde*bredde/2.

#2: Vi integrerer først mhp. x også mhp. y:



Vi gjør det samme her, trekker en linje parallellt med x-aksen og som skjærer området.

Vi ser da at vi går fra: x = y til x = 1

[tex]A = \int_a^b\int_y^1\rm{d}x\rm{d}y[/tex]

Grensene for y finner vi på å se hvilket område y "spenner over".

Får: y = 0 til y = 1, og vi ender opp med:

[tex]\int_0^1\int_y^1\rm{d}x\rm{d}y = \int_0^11-y\rm{d}y = \left[y-\frac{1}{2}y^2\right]_0^1 = (1-\frac{1}{2}) - 0 = \frac{1}{2}[/tex]

Håper dette hjelper, neppe helt pedagogisk korrekt skrevet, men ga det i alle fall et forsøk.

[Markonan]

Meget bra svart, zell! Hadde forumet hatt en 'karma' funksjon så hadde jeg gitt en til deg nå!

[zell]

Danke

[tool-nes]

tusen takk, zell det var et veldig bra svar
skjønner faktisk mye mere nå!
blir liggende på bokmerke den nå hehe

har endevendt boka, men har ikke finni noe sted det står så bra og lett forklart som det du har gjort nå, kanskje fordi dette ikke ligger i pensumet vårt, men at de går utifra at dette skal vi kunne fra før av.. hehe

Tusen Takk

[tool-nes]

Hei igjen zell
har du mulighet til å forklare hvordan det blir på et trippelintegral?
har en pyramide med hjørner i (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1)..

har sitti å prøvd å tegne opp grensene å tyde hva de må bli flere ganger nå, men det stopper litt opp igjen

hadde satt pris på en forklaring på det

[zell]

Du gjør akkurat det samme.

F.eks: Du ser på grensene for z, når du har funnet de finner du grensene for x og y ved å se på projeksjonen av området ned i xy-planet (z = 0).

Ser du først på y, finner du grensene for x og z ved å se på projeksjonen av området ned i xz-planet (y = 0), osv.

[FredrikM]

Hei igjen zell
har du mulighet til å forklare hvordan det blir på et trippelintegral?
har en pyramide med hjørner i (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1)..

har sitti å prøvd å tegne opp grensene å tyde hva de må bli flere ganger nå, men det stopper litt opp igjen

hadde satt pris på en forklaring på det

Det jeg gjorde på denne oppgaven, var å legge merke til at pyramiden danner et plan som går skrått nedover fra punktet (0,0,1) mot (1,0,0) og (0,1,0). Et plan er på formen z=ax+by, og så satte jeg opp et likningssystem.