Integrasjon av trigonometriske funksjoner

[thedole]

Hei
Jeg sliter som fy med å finne utav hvordan jeg skal finne det ubestemte integralet til følgende funksjon:
[tex]\int(sin x\cdot cosx)dx[/tex]

Hvilken tilnærming skal jeg bruke for å løse denne? Delvis integrasjon gir meg bare ting som er mer eller mindre likt utgangspunktet. Fundert på om jeg skal sette [tex]Cosx = Sin(\frac\pi2-x)[/tex] men vet egentlig ikke helt hvordan jeg skulle gått videre der heller..
Fant svaret på Wikipedia men ble ikke så mye klokere av det.
[tex]\frac12Sin^2x + C[/tex]

Noen som kan peke meg i riktig retning med denne.

[Janhaa]

hint

[tex]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/tex]

[Andreas345]

Jeg hadde denne i lekse i går faktisk, jeg løste den slik:

[tex]\int(sin x\cdot cosx)dx[/tex]

Setter [tex]u=\sin x[/tex] da blir [tex]u\prime=\cos x[/tex]

Setter [tex]v\prime=\cos x[/tex] da blir [tex]v=\sin x[/tex]

[tex]\int(sin x\cdot cosx)dx=\sin x \cdot \sin x - \int(sin x\cdot cosx)dx[/tex]

[tex]2 \cdot \int(sin x\cdot cosx)dx=sin^2x[/tex]

[tex]\int(sin x\cdot cosx)dx=\frac {sin^2x}{2}+C[/tex]

[mrcreosote]

Mange måter å gjøre dette på naturligvis, men det er 2 substitusjoner som er ganske opplagte også, nemlig u=sin x og u=cos x. Ekstraoppgave: Løs integralet 2 ganger, en med hver av substitusjonene. Forklar hvorfor de tilsynelatende ulike svara du får faktisk er like.

[thedole]

Takker for svar!
Akkurat nå får de bare hodet mitt til å snurre rundt, men skal se om jeg får sparket liv i de små grå i morgen. Tror de synes jeg prøver å dytte inn litt for mye ny informasjon litt for fort så deler av dem er tatt ut i streik om dagen føles det som..

[Andreas345]

Ekstraoppgave: Løs integralet 2 ganger, en med hver av substitusjonene. Forklar hvorfor de tilsynelatende ulike svara du får faktisk er like.

1.

[tex]\int \sin x\cdot \cos x dx[/tex]

Setter [tex] u=sin x[/tex]

[tex]\frac {du}{dx}=cos x[/tex]

[tex]\int u du=\frac {1}{2}u^2+C=\frac {sin^2x}{2}+C[/tex]

2.
[tex]\int \sin x\cdot \cos x dx[/tex]

Setter [tex] u=cos x[/tex]

[tex]\frac {du}{dx}=-sin x[/tex]

[tex]\int -u du=-\frac {1}{2}u^2+C=-\frac {cos^2x}{2}+C[/tex]

Ut i fra enhetsformelen blir [tex]-\frac {cos^2x}{2}=-\frac {1-sin^2x}{2}[/tex]

[tex]\frac {sin^2x}{2}-\frac {1}{2}[/tex]

Så ja, de to svarene er like, men med metode 2 blir det en annen konstant (C).

Stemmer det?

[thedole]

Jeg klarte tilslutt å komme frem til svaret med ei skikkelig smørje av en løsning..
[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = Sin^2x-\int(Sinx\cdot Cosx)dx[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = Sin^2x-\int(\frac12Sin2x)dx[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = Sin^2x+\frac14Cos2x[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = Sin^2x+\frac14(Cos^2x-Sin^2x)[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = Sin^2x+\frac14Cos^2x-\frac14Sin^2x[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = \frac14(3sin^2x+Cos^2x)[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = \frac14(3sin^2x+1-Sin^2x)[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = \frac14(2sin^2x+1)[/tex]

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = \frac12sin^2x+1)[/tex]

Regner med at jeg kan se på den "+1" biten som "C" og får da:

[tex]\int(Sinx\cdot Cosx)dx = \frac12sin^2x+C)[/tex]

Litt mere elegant for å si det pent de andre løsningene her ja, må bare ta meg tid til å regne mere oppgaver her skjønner jeg selvom jeg er på etterskudd av deadlinen for denne innsendinga..

edit: Får ihvertfall litt latex trening om ikke noe annet utav dette!

[zell]

Ville bare løst den som Janhaa foreslår:

[tex]\int\sin{x}\cos{x}\rm{d}x = \frac{1}{2}\int\sin{(2x)}\rm{d}x = -\frac{1}{4}\cos{(2x)} + C = -\frac{1}{4}(\cos^2{x}-(1-\cos^2{x})) + C = \frac{1}{4}(-2\cos^2{x}) + C = -\frac{\cos^2{x}}{2} + C[/tex]

[meCarnival]

Er det "mulig/lovlig" å skrive notasjonen:

[tex]C-\frac{\cos^2{x}}{2}[/tex]

...som endelig svar? eller må C stå til slutt?