Nordisk funksjonallikning

[Charlatan]

Finn alle funksjoner $f:Q\to Q$ slik at $f(x-y)+f(x+y)=2f(x)+2f(y)$ for alle rasjonale $x$ og $y$.

[Gustav]

Alle funksjoner på formen

$k{x}^2$

[BMB]

Jeg kom også fram til at disse funksjonene tilfredstilte ligningen. Men jeg klarte ikke å finne et argument som viste at dette måtte være alle... Får jeg se beviset?

[Charlatan]

Ved å sette $x=y=0$ får vi at $f(0)=0$.

Vi prøver å bevise at $f(nx)=n^{2}f(x)$ for alle ikke negative $n$.

Vi vet det gjelder for $n=0$, så anta at det gjelder for alle $k<n$.

Nå er $f(kx+x)+f(kx-x)=2f(kx)+2f(x)\Rightarrow f((k+1)x)=2k^{2}f(x)+2f(x)-(k-1{)}^{2}f(x)\Rightarrow f((k+1)x)=(k+1{)}^{2}f(x)$.

Vi har dessuten at $f(y)+f(-y)=2f(0)+2f(y)\Rightarrow f(y)=f(-y)\Rightarrow f((-n)x)=f(nx)=n^{2}f(x)=(-n{)}^{2}f(x)$.

Vi har altså at $f(nx)=n^{2}f(x)$ for alle $n\in \mathbb{Z}$.

Nå setter vi $x=\frac{p}{q}$, og $n=q$. Vi får at $f(nx)=f(p)=q^{2}f(\frac{p}{q})\Rightarrow f(\frac{p}{q})=\frac{f(p)}{q^2}$.

Men $f(p)=p^{2}f(1)\Rightarrow f(\frac{p}{q})=(\frac{p}{q}{)}^{2}f(1)$ for en konstant $c:=f(1)$.

Vi har altså at $f(x)=c{x}^2$ og vi ser at denne funksjonen passer for alle rasjonale $c$.