La A være en n×n-matrise og la x være en n-vektor slik at A(^3)x = 0, mens
A(^2)x [symbol:ikke_lik] 0. Vis at vektorene x, Ax og A(^2)x er lineært uavhengige
Tusen takk for all hjelp jeg måtte få!:)
Lineært uavhengige matriser
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hva mener du med A(^2)x 6= 0. ? Kjipt å måtte gjette på hva som menes før man skal sette seg inn i problemer...Sluggern wrote:La A være en n×n-matrise og la x være en n-vektor slik at A^3)x = 0, mens
A(^2)x 6= 0. Vis at vektorene x, Ax og A(^2)x er lineært uavhengige
Tusen takk for all hjelp jeg måtte få!:)
Det var meningen at det skulle være en ulikhet. Det er ettet opp nå:)plutarco wrote:Hva mener du med A(^2)x 6= 0. ? Kjipt å måtte gjette på hva som menes før man skal sette seg inn i problemer...Sluggern wrote:La A være en n×n-matrise og la x være en n-vektor slik at A^3)x = 0, mens
A(^2)x 6= 0. Vis at vektorene x, Ax og A(^2)x er lineært uavhengige
Tusen takk for all hjelp jeg måtte få!:)
Ok,
Vi har
[tex]c_1x+c_2Ax+c_3A^2x=0[/tex] for konstanter [tex]c_i\, i\in (1,2,3)[/tex].
Må vise at [tex]c_1=c_2=c_3=0[/tex]:
Bevis:
Multiplisering med [tex]A[/tex] og [tex]A^2[/tex] gir oss to ligninger:
[tex]c_1Ax+c_2A^2x=0[/tex] og
[tex]c_1A^2x=0[/tex].
Siden [tex]A^2x\neq 0[/tex] får vi
[tex]c_1=0[/tex].
Fortsett slik.
Vi har
[tex]c_1x+c_2Ax+c_3A^2x=0[/tex] for konstanter [tex]c_i\, i\in (1,2,3)[/tex].
Må vise at [tex]c_1=c_2=c_3=0[/tex]:
Bevis:
Multiplisering med [tex]A[/tex] og [tex]A^2[/tex] gir oss to ligninger:
[tex]c_1Ax+c_2A^2x=0[/tex] og
[tex]c_1A^2x=0[/tex].
Siden [tex]A^2x\neq 0[/tex] får vi
[tex]c_1=0[/tex].
Fortsett slik.