Lineært uavhengige matriser

[Sluggern]

La A være en n×n-matrise og la x være en n-vektor slik at A(^3)x = 0, mens
A(^2)x [symbol:ikke_lik] 0. Vis at vektorene x, Ax og A(^2)x er lineært uavhengige

Tusen takk for all hjelp jeg måtte få!:)

[Gustav]

La A være en n×n-matrise og la x være en n-vektor slik at A^3)x = 0, mens
A(^2)x 6= 0. Vis at vektorene x, Ax og A(^2)x er lineært uavhengige

Tusen takk for all hjelp jeg måtte få!:)

Hva mener du med A(^2)x 6= 0. ? Kjipt å måtte gjette på hva som menes før man skal sette seg inn i problemer...

[Sluggern]

La A være en n×n-matrise og la x være en n-vektor slik at A^3)x = 0, mens
A(^2)x 6= 0. Vis at vektorene x, Ax og A(^2)x er lineært uavhengige

Tusen takk for all hjelp jeg måtte få!:)

Hva mener du med A(^2)x 6= 0. ? Kjipt å måtte gjette på hva som menes før man skal sette seg inn i problemer...

Det var meningen at det skulle være en ulikhet. Det er ettet opp nå:)

[Gustav]

Ok,

Vi har

[tex]c_1x+c_2Ax+c_3A^2x=0[/tex] for konstanter [tex]c_i\, i\in (1,2,3)[/tex].

Må vise at [tex]c_1=c_2=c_3=0[/tex]:

Bevis:

Multiplisering med [tex]A[/tex] og [tex]A^2[/tex] gir oss to ligninger:

[tex]c_1Ax+c_2A^2x=0[/tex] og

[tex]c_1A^2x=0[/tex].

Siden [tex]A^2x\neq 0[/tex] får vi

[tex]c_1=0[/tex].

Fortsett slik.