Derrivazione

[moth]

No har jeg lest litt av det Mepe skrev om kjerneregelen og jeg tror jeg forstår litt mer no. Må si det var veldig lærerikt, bra forklart! Jeg prøver meg på denne, kanskje jeg kan lære enda mer.

[tex]f(x)=ln(\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}})[/tex]
[tex]f^\prime(x)=\frac{1}{u}\cdot u^\prime[/tex]
[tex]u=\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}[/tex]
[tex]u=\sqrt{v}+ln(z)[/tex]
[tex]u^\prime=(\frac{1}{2\sqrt{v}}+\frac{1}{z})(v^\prime)(z^\prime)[/tex]
[tex]v=x^2-\sqrt{3x}[/tex]
[tex]v^\prime=(2x-\frac{1}{2\sqrt{3x}})(3x^\prime)=6x-\frac{3}{2\sqrt{3x}}[/tex]
[tex]z=\sqrt[3]{(x^3-sqrt{x})^2}[/tex]
[tex]z^\prime=\frac{2}{3z^{\frac{1}{3}}}\cdot x^\prime=\frac{2}{3z^{\frac{1}{3}}}[/tex]
[tex]u^\prime=\left(\frac{1}{2\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}}+\frac{1}{(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}}\right)\left(6x-\frac{3}{2\sqrt{3x}}\right)\left(\frac{2}{3(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{9}}}\right)[/tex]
[tex]u^\prime=\left(\frac{1}{2\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}}+\frac{1}{(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}}\right)\left(\frac{12x}{3(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{9}}}-\frac{6}{2\sqrt{3x}(3x^3-3\sqrt{x})^{\frac{2}{9}}}\right)[/tex]

Jeg klarer foreløpig ikke trekke det sammen noe særlig mer uten at det ser helt ****** ut, men er det noen som hadde giddet å se raskt over om det ser noenlunde greit ut det jeg har gjort. Er ganske usikker på f.eks. roten av 3x og roten av x i de to siste stegene.
På forhånd takk

[Emilga]

Hvor fikk du tak i det besitet av en funksjon? Har du laget den selv? Hvis du bryr deg om min mening er det ikke noe vits å derivere så avanserte funksjoner. Kanskje du heller kan prøve deg på noen trigonometriske funksjoner?

Kan du for eksempel derivere [tex]f(x) = \tan(x)[/tex]?

[moth]

Vel, jeg lagde den selv. Tenkte det kunne være en slags eksamen på det jeg har lært til no. Skal nok klare å få has på det beistet.
Jeg hadde faktisk tenkt å begynne med litt skikkelig trigonometri no og.
I følge derivasjonsreglene blir [tex](tan(x))^\prime=\frac{1}{cos^2x}[/tex]

Men hvordan blir det med [tex]f(x)= tan^{-1}(x)[/tex] Går det an?

Også bare for å spørre litt om den andre. Blir dette riktig så langt:

[tex]f(x)=ln(\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}})[/tex]
[tex]f^\prime(x)=\frac{1}{u}\cdot u^\prime[/tex]
[tex]u=\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}[/tex]
[tex]u=\sqrt{v}+ln(z)[/tex]
[tex]u^\prime=(\frac{1}{2\sqrt{v}}+\frac{1}{z})(v^\prime)(z^\prime)[/tex]

[zell]

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}[\arctan{x}] = \frac{1}{1+x^2}[/tex]

[moth]

Så [tex]\frac{d}{dx}[/tex] betyr den deriverte? Men hvorfor blir det det, kan du utdype?

[bartleif]

[tex]\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx}[/tex]

Er delta y over delta x når delta x går mot null

[moth]

Takk skal du ha bartleif, men jeg mente hvorfor blir [tex](tan^{-1}(x))^\prime=\frac{1}{1+x^2}[/tex]
Jeg gir meg ikke på denne
[tex]f(x)=ln(\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}})[/tex]
[tex]f^\prime(x)=\frac{1}{u}\cdot u^\prime[/tex]
[tex]u=\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}[/tex]
[tex]u=\sqrt{v}+ln(z)[/tex]
[tex]u^\prime=(\frac{1}{2\sqrt{v}}+\frac{1}{z})(v^\prime)(z^\prime)[/tex]

Gir dette mening, er det vits i å fortsette?

[mepe]

hei bartleif, jeg må gi emomilol ret! - det er litt tull at derivere en sådan kompliseret funktion! - men den skal du ha! - du gir deg ikke. Så jeg skal prøve at komme med mit forslag til hvordan jeg ville løse den!!!

[tex]f(x)= ln(\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}})[/tex]

here we go!!
[tex]f(x) = lnu[/tex]

hvor
[tex]u=\sqrt{x^2-\sqrt{3x}} + ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}[/tex]

her deler jeg den i 2 [tex]u1[/tex] og [tex]u2[/tex], da der er + imellem (og den er kompliseret nok hver for seg!)

så
[tex]u1= \sqrt{x^2+\sqrt{3x}}[/tex]

[tex]u2=ln(x^3+\sqrt{x})^{\frac{2}{3}[/tex]

så derivere først [tex]u1[/tex]

[tex]u1= \sqrt{x^2+\sqrt{3x}}[/tex]

[tex]u1=\sqrt{z}[/tex]

hvor
[tex]z=x^2+\sqrt{3x}[/tex]

[tex]z=x^2+v[/tex]

hvor
[tex]v=\sqrt{3x}[/tex]

[tex]v=\sqrt{y}[/tex]

hvor
[tex]y= 3x[/tex]

så
[tex]y\prime =3[/tex]

[tex]v\prime=\frac{3}{2\sqrt{3x}}[/tex]

[tex]z\prime=2x+\frac{3}{2\sqrt{3x}}[/tex]

[tex]u1\prime = (2x+\frac{3}{2\sqrt{3x}})* (\frac{1}{2\sqrt{x^2+\sqrt{3x}}})[/tex]

[tex]u1\prime= \frac{2x+\frac{3}{2\sqrt{3x}}}{2\sqrt{x^2+\sqrt{3x}}}[/tex]

og

[tex]u2=ln(x^3+\sqrt{x})^{\frac{2}{3}[/tex]


[tex]u2=ln(z)[/tex]

hvor
[tex]z= (x^3+\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}[/tex]

[tex]z= v^{\frac{2}{3}}[/tex]

hvor
[tex]v= x^3+\sqrt{x}[/tex]

[tex]v\prime= 3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

[tex]z\prime= \frac{2}{3} (3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}})^{-\frac{1}{3}}[/tex]

[tex]u2\prime = * ( \frac{2}{3} (3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}})^{-\frac{1}{3}}) *(\frac{1}{(x^3+\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}}) [/tex]

[tex]u2\prime= \frac{1}{(x^3+\sqrt{x})^{\frac{2}{3}} * \frac{2}{3}* \sqrt[3]{2x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

ok
nu har jeg deriveret u1 og u2 - så nu kan jeg derivere hele uttrykket!!

[tex]f(x) = ln(u1+u2)[/tex]

så

[tex]f\prime(x) = (u1\prime+u2\prime) *{ \frac{1}{u1+u2}[/tex]

[tex]f\prime(x) =\left( \frac{1}{{\sqrt{x^2-\sqrt{3x}}}+ln(x^3-\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}}\right) *\left(\left({\frac{1}{{ (x^3+\sqrt{x})^{\frac{2}{3}}} *{( \frac{2}{3}*\sqrt[3]{3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}}}}\right)+\left({\frac{2x+\frac{3}{2\sqrt{3}}}{2\sqrt{x^2+\sqrt{3x}}}}\right)\right)[/tex]

Dette er mit bud på hvordan likningen skal deriveres!!!! - det kan sikkert trekkes noet sammen, men tror jeg slutter her!!!!!!

se litt på den, og se hvad du synes!!! - og igjen der kan meget vel være sneket seg feil inn hist og her !! - for her er det om at holde tungen rett i munnen!! - men tror det må være fremgangsmåten for at derivere en sådan likning!!! - GOD lesning !!

[bartleif]

Hehe, nydelig mepe, fin løsning

Var thmo som holdt på med denne, men har hatt den i tankene siden han postet den. Prøvde på den et par ganger men ikke mye lett denne her!

Skal se godt gjennom løsningen din, takk for at du "holder oss i hånden" gjennom dette, mangler lærer nå i ferien. Prøvde så godt jeg kunne å "skrelle eplene" her, men trenger vel litt mer øving

Angående det emomilol sa, så er jeg ganske enig jeg og Litt utenfor pensum de neste årene dette her tenker jeg, men kan en noe som denne så er en vel godt rustet til neste semester

Takk enda en gang

[mepe]

sry, rigtig, rigtig! fikk roddet litt rundt i navnene - thmo var det som startede denne oppgaven!

- og jeg har også hatt den i tankerne siden han postede den!! - hadde egentlig bestemt meg for ikke at orke a prøve. Da jeg er ganske fersk på TEX, så regnede med at det ville ta meg forever at skrive den inn, men må si det gikk mye bedre idag, enn de forrige. Jukser litt og ser hvordan dere har skrevet koderne. - og prøver så selv!!

vet du hvordan man skriver 3. rot?
- og så sliter jeg veldig hvis der er store brøkkuttrykk der skal * eller + med hverandre !! - ser at dere skriver left og right foran! - hva er egentlig reglen for de?

mepe

[andhou]

3.rot er vel

Code: Select all

\sqrt[3]{a^2}

[tex]\sqrt[3]{a^2}[/tex]

[mepe]

takk for det!

[moth]

Tusen takk skal du ha mepe!! Fantastisk må jeg si. Jeg forstår hva du har gjort, og best av alt så var det jo nesten det samme jeg drev med i den første posten, bare med noen småfeil. Jeg må si jeg liker denne kjerneregelen, all ære til den som klarte å finne den.
Jeg må bare få gi en stor takk til alle som har hjulpet til i denne tråden. Jeg tror bartleif kan være enig i at vi kunne ikke hatt bedre hjelp. Mye igjen å lære enda, men vi har ihvertfall kommet godt i gang

Tusen takk til alle!
thmo

PS: Jeg kommer sikkert med flere derivasjonsspørsmål, men jeg ville bare si det.

[bartleif]

Evig enig, kunne ikke sagt det bedre selv

Siden vi nå har dekket deriverte av første orden rimelig bra, kanskje på tide å begynne med deriverte av annen orden?

Jeg har hvertfall jobbet med [tex]y=ln (ln (x))[/tex]

Og første deriverte er jo grei:
[tex]y^\prime=\frac{1}{lnx^x}[/tex] eller [tex]y^\prime=\frac{1}{xlnx}[/tex]

Så kommer mine problemer, bruker selvfølgelig kvotientregelen her(Har prøvd produkt og):

[tex]y^{\prime\prime}=\left[\frac{1}{lnx^x}\right]^\prime=\huge{-\frac{(\frac{(x^2)^{x-1}}{x^x})}{(lnx^x)^2}}[/tex](beklager størrelsen, men er bedre for øynene slik enn som den var)

hvor [tex]u^\prime=(x^x)^\prime=(x^2)^{x-1}[/tex]
Får det til å stemme med intuisjonen min, men ikke med kalkulatoren eller QuickMath, noen forslag til hvor jeg har gått meg vill denne gangen?

[FredrikM]

Sett heller u=x ln x

u' = ln x + 1

[tex]y"=\frac{d}{dy}[\frac{1}{x \cdot ln x}]=\frac{d}{dy}[(x \cdot ln x)^{-1}]=-1(u)^{-2} \cdot \frac{du}{dy}u=-\frac{lnx +1}{(x \cdot ln x)^2}[/tex]

Tror dette bør stemme. I tredje punkt bruker jeg potensregelen.