matematikk.net

En idiotisk, banal, men fungerende huskeregel for cosinus av en sum er som følger:

cos (eller kos) er noe som er bra.
sin (eller sinna) er noe som ikke er så bra.

Derfor legger man først til all kosen, og så fjerner man alt som er sinna.
Altså:

[tex] cos(u + v) = cos u \cdot cos v - sin u \cdot sin v [/tex]

Helt latterlig, men den har fungert fint for meg

Jeg synes den var fin jeg! Hahaha

Okey, dette er greia:



Skal finne:

[tex]\rm{A}\cos\left(cx+\phi)+d[/tex]

for denne grafen. Jeg har staket meg frem til:

[tex]f(x) = 2\cdot \cos\left(\frac \pi 2 x + \phi \right)[/tex]

men hvordan finner jeg faseforskyvningen, [tex]\phi [/tex]?

Svaret skal være [tex]\frac \pi 4[/tex]

EDIT:
Jeg har sett litt mer på det, og kommet frem til dette, men dog ikke uten spørsmål...

Ser på grafen og finner at funksjonen er 0 for [tex]x=\frac 12[/tex]. Dermed:

[tex]2\cos\left(\frac \pi 2 \cdot \frac 12 + \phi\right) = 0 \\ \, \\ \cos(\frac \pi 4 + \phi) = 0 \\ \, \\ \phi + \frac \pi 4 = \arccos(0) \\ \, \\ \phi = \frac \pi 2 -\frac \pi 4 \\ \, \\ \phi = \frac \pi 4[/tex]

Er det en generell fremgangsmåte å finne det første nullpunktet til grafen, for så å finne faseforskyvningen ut fra dette? Kan noen forklare meg hvorfor det blir en faseforskyvning mot venstre og ikke mot høyre i dette tilfellet?

Nei, forsiktig nå.
Når jeg ser at dette er en cosinusgraf så vet jeg at "sinusgrafen" har blitt skyvet en viss avstand mot venstre og dermed med dette konkluderes at dette er en cosinusgraf og at faseforsyvningen har skjedd mot venstre.Selve fasen finner man fra likhetslinjen,i ditt eksempel er det likhetslinjen[tex]y=0[/tex], hvis du da ser på avstanden fra origo der[tex]y=0[/tex] fra likhetslinjen og til du treffer grafen er det fasens avstand.Som skal være [tex]\frac{\pi}{4}[/tex].

Man kan tegne en stiplet hjelpegraf fra likhetslinjen for å finne fasen og da vet vi at her er likhetslinjen x-aksen, da går det ann å tegne denne samme grafen men denne gang som starter fra origo.Når det er tegnet kan man regne ut avstanden mellom cosinusgrafen og stiplet hjelpegrafens toppunkter som da blir å regne som faseovergang.Jeg vil tror det.

Tusen takk for svaret! Det satt jeg virkelig pris på :]

Hvis du har flere ting å tilføye så kom gjerne med dem. Hadde vært veldig fint om du tegnet opp den stiplede hjelpelinjen eller henviser meg til kilder som forklarer dette :]

Bare hyggelig!

Jeg har bare Sinus-3MX boka å henvise deg til.

Jeg har seriøse problemer med å løse denne oppgaven. Da spesielt med å finne [tex]\phi[/tex]

Jeg har kommet frem til:
[tex]f(x) = 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}x + \phi\right) + \frac{14}{5}[/tex]

Men ikke lenger... Kan noen hjelpe meg?

EDIT:
Jeg trodde nemlig at jeg kunne finne [tex]\phi[/tex] ved å gjøre følgende:


Grafen krysser likevektslinjen [tex]y=2.8=\frac{14}{5}[/tex] første gang for [tex]x=1.4=\frac 75[/tex]

Trodde derfor jeg kunne sette:

[tex]4\cos\left(\frac{2\pi}{3}\cdot \left(\frac 75\right) + \phi\right) + \frac{14}{5} = \frac{14}{5} \\ \, \\ 4\cos\left(\frac{14\pi}{15} + \phi\right) = 0 \\ \, \\ \frac{14\pi}{15} + \phi = \arccos(0) \\ \, \\ \phi=\frac \pi 2 - \frac{14\pi}{15} \\ \, \\ \phi = \frac{15\pi - 28\pi}{30} \\ \, \\ \phi = -\frac{13\pi}{30}[/tex]

men dette er ikke riktig....

EDIT:
Bruker jeg at grafen krysser likevektslinjen til venstre for origo, altså i punktet: (-1.6, 2.8) får jeg:

[tex]x = -\frac 85 \\ \, \\ \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot (-\frac 85) + \phi) = 0 \\ \, \\ -\frac{16\pi}{15} + \phi = \arccos(0) \\ \, \\ \phi = \frac{15\pi + 16\pi}{30} = \frac{31\pi}{30}[/tex]

Men dette er heller ikke riktig.........

EDIT (igjen, hehe):
Jeg har kanskje tenkt feil fordi dette er en cosinusgraf? Til venstre for origo, finner jeg at den krysser likevektslinjen for [tex]x=-0.1 = -\frac{1}{10}[/tex] (Denne gangen synkende, fordi det er en cosinusgraf).

[tex]\cos(\frac{2\pi}{3}\, \cdot \, (-\frac{1}{10}) + \phi) = 0 \\ \, \\ -\frac{2\pi}{30}+\phi = \arccos(0) \\ \, \\ \phi = \frac \pi 2 + \frac{2\pi}{30}\\ \, \\ \phi = \frac{15\pi + 2\pi}{30} = \underline{\frac{17\pi}{30}[/tex]

som heller ikke er helt riktig jfr fasit... Herrejemeni, så vanskelig dette skulle være...

Faseforskyvninga viser hvor mye kurva er forskjøvet fra origo mot venstre eller høyre.
[tex]\cos(cx+\phi)\,\,[/tex] forenkles til [tex]\,\,\cos(\phi) \,\,[/tex]når x = 0. Siden d = 2.8, kan [tex]\,\,\cos(\phi)\,\,[/tex]beregnes:

[tex]4\cos(\phi)=-2,8[/tex]

osv, blir dette riktig...

Janhaa wrote:[tex]4\cos(\phi)=-2,8[/tex]

[tex]\phi = \arccos(-0.7) \\ \, \\ \phi \approx 2.35[/tex]

Men fasit sier at [tex]\phi[/tex] er 1.68

MatteNoob wrote:

Janhaa wrote:[tex]4\cos(\phi)=-2,8[/tex]

[tex]\phi = \arccos(-0.7) \\ \, \\ \phi \approx 2.35[/tex]
Men fasit sier at [tex]\phi[/tex] er 1.68

Sorry, rocka litt fort i svingen der. Men noen unøyaktikhet(er) må der være uansett. Fordi, se på grafen for x = 0, hvis [tex]\,\,\phi=1,68\,\,[/tex]så blir
[tex]f=4\cos(1,68)\,+\,2,8 = 2,36 \neq 2 [/tex]
som grafen unektelig viser. Nicht wahr?
-------------------------------

det jeg mente istad;

[tex]2 = 4\cos(\phi)\,+\,2,8[/tex]
slik at
[tex]\cos(\phi)=-0,2[/tex]
og
[tex]\phi=1,77[/tex]

og her vil

[tex]f=4\cos(1,77)\,+\,2,8 = 2 [/tex]
og dette stemmer med grafen...

Han sover ikke han heller nei!

Takk skal du ha :] Godt observert mhp fasitsvaret forresten!

Kan noen ta en titt på dette integralet? Jeg har gjort en fortegnsfeil (tror jeg) et sted, men jeg klarer ikke å finne ut hvor...

Kan noen forklare meg, gjerne så omstendelig som mulig, hvorfor;

[tex]\int\left(\tan x\right)\rm{d}x = -\ln \left| \cos x \right| + \rm{C}[/tex]

Jeg har forsøkt litt forskjellig, feks;
[tex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}[/tex]

men det blir litt for komplisert herfra. Vil noen bistå?
__________
Edit: Jeg har gjort litt etter å ha lest meg opp, men er usikker på prosessen;

[tex]\int \tan(0.5x) \rm{d}x[/tex]

[tex]u = 0.5x \\ \, \\ \rm{d}u=0.5\, \rm{d}x[/tex]

[tex]2\int \tan(u)\cdot 0.5\rm{d}x = 2\int \tan(u) \rm{d}u = 2\cdot \int \left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)\rm{d}u[/tex]

Vi har integralet nedenfor, og bruker igjen substitusjon;
[tex]2\int \frac{\sin u}{\cos u}\rm{d}u[/tex]

[tex]w = \cos u \\ \, \\ \rm{d}w = -\sin u\, \rm{d}u[/tex]

[tex]2\int \frac{-\rm{d}w}{w}\rm{d}u = 2\int \frac{-1}{w}\cdot \rm{d}w \cdot \rm{d}u = -2\cdot \int \frac 1w \rm{d}w = -2\ln |w|[/tex]

Som gir;

[tex]-2\ln | \cos(0.5x) |[/tex]

Hva skjer her: [tex]2\int \frac{-1}{w}\cdot \rm{d}w \cdot \rm{d}u = -2\cdot \int \frac 1w \rm{d}w[/tex]

Hvorfor har jeg lov til å bytte ut [tex]\rm{d}w \cdot \rm{d}u [/tex] med [tex]\rm{d}w[/tex]?

Okey, prøver å skrive det litt annerledes, er dette riktig?

[tex]\int \tan(\frac 12x) \rm{d}x[/tex]

[tex]u = \frac 12 x \\ \, \\ \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} = \frac 12[/tex]


[tex]2 \cdot \int \tan(u) \cdot \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}\cdot \rm{d}x[/tex]

Derfor kan vi;

[tex]2 \cdot \int \tan(u) \cdot \frac{\rm{d}u}{\cancel{\rm{d}x}}\cdot \cancel{\rm{d}x} = 2\cdot \int \tan u \rm{du} = 2\cdot \int \frac{\sin u}{\cos u} \rm{d}u[/tex]

Så substituerer jeg igjen;
[tex]w = \cos u \\ \, \\ \frac{\rm{d}w}{\rm{d}u} = -\sin u[/tex]

Siden integranden er [tex]\frac{\sin u}{\cos u}[/tex], så må jeg sette minus foran [tex]\frac{\rm{d}w}{\rm{d}u}[/tex] slik at minusene kansellerer ut hverandre.

[tex]2\int\left(\frac{-\frac{\rm{d}w}{\rm{d}u}}{w}\right)\rm{d}u = 2 \cdot \int \left( \frac{-1}{w} \cdot \frac{\rm{d}w}{\rm{d}u} \cdot \rm{d}u\right) = 2\cdot \int \frac{-1}{w} \cdot \frac{\rm{d}w}{\cancel{\rm{d}u}} \cdot \cancel{\rm{d}u} = -2\int \frac 1w \rm{d}w = -2\ln|w|[/tex]

Og så reverserer jeg begge substitusjonene;

[tex]\underline{\underline{-2\ln\left|\cos(\frac 12x)\right| + \rm{C}}}[/tex]

Er de tingene jeg har gjort med den (for meg) ukjente notasjonen riktig?

MatteNoob wrote:Kan noen forklare meg, gjerne så omstendelig som mulig, hvorfor;
[tex]\int\left(\tan x\right)\rm{d}x = -\ln \left| \cos x \right| + \rm{C}[/tex]
Jeg har forsøkt litt forskjellig, feks;
[tex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}[/tex]
men det blir litt for komplisert herfra. Vil noen bistå?

MathNoob, bruk substitusjon
u = cox(x)
slik at
du = -sin(x) dx

prøv resten sjøl...