Integrasjonsspørsmål. Se siste post.

[MatteNoob]

Løs likningene når [tex]x \in [0,\, 2\pi\rangle[/tex]

[tex]sin3x=1\\ \, \\ 3x = sin^{-1}(1) \\ \, \\ 3x = \frac \pi 2 \\ \, \\ x = \frac{\frac \pi 2}{3} = \frac \pi 6[/tex]

Her har jeg funnet en av vinklene, men det er jo flere. Hvordan finner jeg disse? Jeg tenkte på symmetri på enhetssirkelen, og tenkte at:

[tex]x = \frac{\frac \pi 2}{3} \,\,\,\vee\,\,\, \frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{3} = \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}\\ \, \\ L=\{\frac\pi 6, \, \frac{3\pi}{6}\}[/tex]

Men dette er jo så leif at det er flaut! Riktig svar er:

[tex]L=\{\frac \pi 6, \, \frac{5\pi}{6},\, \frac{3\pi}{2}\}[/tex]

Vil noen av dere gjøre et seriøst forsøk på å få lys i osrampæra mi? - Lyset har gått!

[Dinithion]

Hehe, du er jo i ett toppunkt! Det er bare ett toppunkt for hver periode. Altså har du funnet den ene løsningen

Den andre løsningen finner du ved at du rett etter å ha løst brukt arcsin, trekker h.s. fra pi. I dette tilfellet blir det:

[tex]sin\, 3x = 1 \\ 3x = arcsin\, 1 \,\,\,\vee\,\,\, 3x = \pi - arcsin\, 1 \\ 3x = \frac{\pi}{2} \,\,\,\vee\,\,\, 3x = \pi - \frac{\pi}{2}[/tex]

Da ser vi lett at vi får to løsninger på pi/2, resten klarer du selv

[MatteNoob]

Tusen takk, deres kongelige høyhet!

Med en gang jeg har dem på tråden, så drister jeg meg til å spørre litt mer.

1. Vi har en funksjon [tex]3sin(2x)[/tex]
Her beskriver 3 amplituden?
Her beskriver 2 perioden?

2. [tex]sin^{-1}(a) \,\,\, \Leftrightarrow\,\,\, arcsin(a)[/tex] ?

3. Jeg tegnet den selv, og jeg så at det var 3 toppunkter. Betyr dette at vi må grafe alle trigonometriske funksjoner for å finne svarene? (Det virker lite sannsynlig)

4. Jeg er stygt redd jeg ikke klarer resten selv. Vil du dra hele?

[ettam]

Løs likningene når [tex]x \in [0,\, 2\pi\rangle[/tex]

[tex]sin3x=1[/tex]

[tex]3x = sin^{-1}(1) + n \cdot 2 \pi[/tex]

[tex]3x = \frac{\pi}{2} + n \cdot 2 \pi[/tex]

[tex]x = \frac{\frac{\pi}{2}}{3} + \frac{n \cdot 2 \pi}{3}[/tex]

[tex]x = \frac{\pi}{6} + n \cdot \frac{2 \pi}{3}[/tex]

[tex]x = \frac{\pi}{6}[/tex] eller [tex]x = \frac{5 \pi}{6}[/tex] eller [tex]x = \frac{3 \pi}{2}[/tex]

Ser du hva du glemmer?

[MatteNoob]

@ ettam:
Flotte greier, tusen takk skal du ha, men en ting skjønner jeg ikke. Hvordan vet du hva du skal sette inn for n (eller k som de bruker i boka)?

Edit:
Jeg glemmer å legge inn [tex]+ n \cdot 2\pi[/tex]

I dette tilfellet skal det legges inn først, deretter skal det divideres med 3, fordi vi har 3x

[ettam]

@ ettam:
Hvordan vet du hva du skal sette inn for n (eller k som de bruker i boka)?

[tex]n[/tex] (eller [tex]k[/tex]) er heltall (positive og negative).

[tex]sin x[/tex] og [tex]cos x[/tex] er periodiske med [tex]2\pi[/tex], mens tan x er periodisk med [tex]\pi[/tex].

Leddet [tex]n \cdot 2 \pi[/tex] gir et eller flere positive eller negative omløp i enhetssirkelen.

[Dinithion]

1. 3 er amplituden, ja.
Formelen for periode er:

[tex]f(x) = y_0 + Asin(kx+ \phi) \\ P = \frac{2\pi}{k}[/tex]

Som vi ser så er perioden ikke k direkte, men det er den eneste leddet som påvirker perioden. y_0 er likevektslinjen som funksjonen svinger om. Det blir med andre ord gjennomsnittsverdien av funksjonen.

2. Jepp

3. Nei, siden dette er harmonisk svingning så vil den fortsette å gjenta seg i all evighet. Derfor legger vi til perioden når vi løser likningen. (Siden den gjentar seg med en periode på P). I ditt tilfelle blir altså løsningen slik:

[tex]sin\, 3x = 1 \\ 3x = arcsin\, 1 = \frac{\pi}{2}+n2\pi \\ \text{Her kommer trikset alts\aa, vi legger til perioden n2pi som er perioden \\for en ren sinusfunksjon. Siden k er det eneste som innvirker, \\deler vi n\aa begge sider med 3 (Selvfoelgelig alle \\ledd da vi foelger matematiske regler)} \\ x = \frac{\pi}{6}+n\frac{2\pi}{3} \\ x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}[/tex]

Edit: Er jeg så treg altså?
(Ser også at latex ikke like det norske ordet "det" og insisterer på at e i enste skal være determinant )

[MatteNoob]

Hjertlig takk til dere begge to. Dette er uvurdelig god hjelp.

Leddet [tex]n \cdot 2 \pi[/tex] gir et eller flere positive eller negative omløp i enhetssirkelen.

Okey, så hvis [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex] så må man rett og slett (når vi er gitt en periode) finne [tex]n[/tex] for alle mulige omløp?

[MatteNoob]

Jeg prøver meg på en oppgave her.

[tex]cos(2x) = -1 \\ \, \\ 2x = arccos(-1) \\ \, \\ 2x = \pi + k \cdot 2\pi \\ \, \\ x = \frac \pi 2 + k \cdot \pi[/tex]

Fordi: [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex] og [tex]x\in[0, \, 2\pi\rangle \,\, \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ k_1 = 0\, og\, k_2=1[/tex]

Fordi [tex]k=2 \Rightarrow x \not \in [0, \, 2\pi\rangle[/tex]

[tex]\underline{\underline{L=\{\frac \pi 2,\, \frac{3\pi}{2}\}}}[/tex]

Er dette ressonementet riktig?

[gill]

Det skulle være riktig. Jeg vet ikke hva [tex] \mathbb{Z}[/tex] betyr.



Jeg pleier å skrive det sånn. Men dine metoder pleier jo å være presise mattenoob!


[tex]cos(2x) = -1 \\ \, \\ 2x = arccos(-1) \\ \, \\ 2x = \pi + k \cdot 2\pi \\ \, \\ x = \frac \pi 2 + k \cdot \pi[/tex]

[tex]x\in[0, \, 2\pi\rangle [/tex]

[tex]k=0\,\,x=\frac{\pi}{2} \\ \, \\ k=1\,\,\,x=\frac{\pi}{2}\,+\,\pi=\frac{3\pi}{2}\\ \, \\ k\ge2\,\, [/tex]
ingen løsning

[zell]

[tex]\mathbb{Z}[/tex] betyr alle heltall: ..., -2,-1,0,1,2,...

[MatteNoob]

Det skulle være riktig. Jeg vet ikke hva [tex]\mathbb{Z}[/tex] betyr.

Jeg pleier å skrive det sånn. Men dine metoder pleier jo å være presise mattenoob!

(...)

[tex]k\ge2[/tex] ingen løsning

Som Zell skriver, alle heltall. Det er lurt å lære seg disse tingene, Gill. Ser du holder på med litt regneteknisk om dagen, da er dette et godt supplement. Les om de forskjellige tallene og "deres symboler" på Wikipedia. Den artikkelen forklarer hva det meste er.

Tusen takk for komplimentet. Jeg synes det er artig å tweake ting, slik at svarene blir (det jeg betegner som) pene, for mens noen gråter når de ser en pen soloppgang, så kan jeg gråte når jeg ser eksakte verdier uttrykkt ved [symbol:pi]

Du har helt rett. Jeg skulle nok heller skrevet:
[tex]k\ge 2 \Rightarrow x \not \in [0, \, 2\pi\rangle [/tex]

[gill]

Takk mattenoob!

De rasjonale tallene er de som kan uttrykkes som en brøk med en teller (som er et heltall) og en nevner som er forskjellig fra null

Jeg synes ikke at det kom helt fram om de rasjonale tallene besto av hele tall i nevneren eller hele tall og desimaltall. Jeg antar det første


Når man snakker om irrasjonalle tall er det presist å si at et irrajonelt tall er et tall som ikke kan skrives som en brøk av to tall hvor desimalene har et antall eller gjentar seg selv periodisk?

[MatteNoob]

Jeg skal finne eksakt verdi for:

[tex]cos(\frac{2\pi}{3})[/tex]

Jeg tenkte naturligvis:
[tex]cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\frac \pi 3 + \frac \pi 3) = cos(\frac \pi 3) \cdot sin(\frac \pi 3) - cos(\frac \pi 3) \cdot sin(\frac \pi 3) = \frac 12 \cdot \frac {\sqrt{3}}{2} - \frac 12 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = 0[/tex]

Men dette er jo feil så det suser. Hva gjør jeg galt her?

Edit:
Prøver meg med denne:

[tex]cos(v+v)=cos2v=1-2sin^2v \Rightarrow 1-2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1-2\cdot \frac{3}{4} = \frac 44 - \frac 64 = -\frac 12 [/tex]

Damn, jeg er dyktig!

[ettam]

Jeg skal finne eksakt verdi for:

[tex]cos(\frac{2\pi}{3})[/tex]

Jeg tenkte naturligvis:
[tex]cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\frac \pi 3 + \frac \pi 3) = cos(\frac \pi 3) \cdot sin(\frac \pi 3) - cos(\frac \pi 3) \cdot sin(\frac \pi 3) = \frac 12 \cdot \frac {\sqrt{3}}{2} - \frac 12 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = 0[/tex]

Men dette er jo feil så det suser. Hva gjør jeg galt her?

[tex]cos(u + v) = cos u \cdot cos v - sin u \cdot sin v[/tex]