Page 2 of 2

Posted: 18/03-2011 12:27
by Razzy
Andreas345 wrote:Til Razzy.

Var derfor jeg nevnte dette eksempelet, slik at du fikk benyttet både variabel skifte og delvis integrasjon.

Skal hjelpe deg litt mer på vei:

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

[tex]u=1+sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int \frac {1}{u}\cdot \frac{2\cdot \sqrt{x}}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot 2\cdot sqrt{x}\ du[/tex]

Så hvis [tex]u=1+sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x}=u-1[/tex].....
Jeg visste jeg hadde sett dette uttrykket før, til og med læreren min slet med det!

Image

Kjempeflott, nå ha jeg noe å fundere på! :D

Posted: 18/03-2011 12:48
by Razzy
Andreas345 wrote:Du trenger kun å bruke variabelskifte.

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}dx[/tex]

[tex]\int \frac{e^{u}}{\sqrt{x}} dx \Rightarrow \int {e^{u}\cdot \frac{2}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int {e^{u}\cdot 2 du=2\cdot e^{u}+C=2\cdot e^{\sqrt{x}}+C[/tex]
Syntes det var lettere å forstå hvis man:

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]$$du = {1 \over {2\cdot\sqrt x }}dx \Rightarrow dx = 2\sqrt x $$[/tex]

[tex]$$\int {{{{e^u}} \over u}} 2 \cdot u \cdot du$$[/tex] (vi har skiftet alt av [tex]$${\sqrt x }$$[/tex] til u)

[tex]$$\int {2{e^u}} du$$[/tex]...

Men man har altså lov til å kun skifte ut det man selv ønsker? Tiltross for at vi har samme uttrykk i funksjonen? Slik du gjorde her: [tex]$$\int {{{{e^u}} \over {\sqrt x }}} dx$$[/tex]

Posted: 18/03-2011 12:51
by Andreas345
Ja, det var bare for å gjenkjenne "du"-en jeg hadde definert. Men kan jo selvfølgelig gjøre det på din måte og.

Posted: 18/03-2011 12:56
by mstud
Razzy wrote:
Andreas345 wrote:Du trenger kun å bruke variabelskifte.

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}dx[/tex]

[tex]\int \frac{e^{u}}{\sqrt{x}} dx \Rightarrow \int {e^{u}\cdot \frac{2}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int {e^{u}\cdot 2 du=2\cdot e^{u}+C=2\cdot e^{\sqrt{x}}+C[/tex]
Syntes det var lettere å forstå hvis man:

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]$$du = {1 \over {2\cdot\sqrt x }}dx \Rightarrow dx = 2\sqrt x $$[/tex]

[tex]$$\int {{{{e^u}} \over u}} 2 \cdot u \cdot du$$[/tex] (vi har skiftet alt av [tex]$${\sqrt x }$$[/tex] til u)

[tex]$$\int {2{e^u}} du$$[/tex]...

Men man har altså lov til å kun skifte ut det man selv ønsker? Tiltross for at vi har samme uttrykk i funksjonen? Slik du gjorde her: [tex]$$\int {{{{e^u}} \over {\sqrt x }}} dx$$[/tex]
Hvor mange ganger en skriver den substituerte som u, velger man selv, og men enkelte ganger kan den ene av skrivemåtene være en fordel, men som oftest er det bare en smakssak :D

Posted: 18/03-2011 13:17
by mstud
Razzy wrote:
mstud wrote:Ja, det har du uansett, for alt som står bak det integraltegnet er på et vis ganget med to når du har et uttrykk på formen {2*v*w}
Av og til må man bare få ting på plass i hodet ett hundre ganger før det sitter :P

[tex]$$\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow 2\left( {x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow \cancel {\left( {2x \cdot 2{e^x}} \right)?$$[/tex]

[tex]$$\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \ne 2\left( {x \cdot {e^x}} \right)}?$$[/tex]Disse to siste her er faktisk like, men hvis det hadde stått 2(x+e^x), hadde du måttet gange både x og e^x med 2 hver for seg, slik du ville gjøre med gangestykket her!


Saken er altså:
[tex]\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow 2\left( {x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow \cancel {\left( {2x \cdot 2{e^x}} \right)} [/tex] , men [tex]\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) = 2\left( {x \cdot {e^x}} \right)=2x \dot e^x[/tex]


Kan også vise at [tex]{\left( {2x \cdot 2{e^x}} \right)=4x \cdot e^x}[/tex]
Du ser forskjellen hvis jeg illustrerer med tall: 2(1*1)=2*1*1=2, og dette er feil: 2(1*1)=2*1*2*1=2*2=4, det samme gjelder altså for 2(x*e^x) :!: :!:


men jeg så plutselig nå at det så ut som jeg hadde svart ja til alt dette, men det var altså ikke det jeg svarte ja på ...

Posted: 18/03-2011 13:19
by Razzy
Andreas345 wrote:Til Razzy.

Var derfor jeg nevnte dette eksempelet, slik at du fikk benyttet både variabel skifte og delvis integrasjon.

Skal hjelpe deg litt mer på vei:

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

[tex]u=1+sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int \frac {1}{u}\cdot \frac{2\cdot \sqrt{x}}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot 2\cdot sqrt{x}\ du[/tex]

Så hvis [tex]u=1+sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x}=u-1[/tex].....
[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

[tex]u=1+sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]$$dx = 2\sqrt x \cdot du$$[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot 2\cdot sqrt{x}\ du[/tex]

Så hvis [tex]u=1+sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x}=u-1[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over u}} 2\left( {u - 1} \right)\;du$$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over u}} \left( {2u - 2} \right)\;du$$[/tex]

[tex]$$\int {\left( {u - {2 \over u}} \right)\;du} $$[/tex]

[tex]2u - 2\ln \left| u \right| + C^\prime[/tex]

Herfra er det bare å følge eksempelet nedenfor...

Image

Håper ikke jeg får så vanskelige oppgaver på eksamen, tror denne er en av få som er så vanskelige.

Men en ting stusser jeg på:
Andreas345 wrote:Var derfor jeg nevnte dette eksempelet, slik at du fikk benyttet både variabel skifte og delvis integrasjon.
Det er ikke brukt delvis integrasjon på uttrykket ovenfor, kun substitusjon?

Posted: 18/03-2011 13:22
by mstud
Så du innlegget mitt over? JEG drukner hele tiden her :P

Posted: 18/03-2011 13:23
by Razzy
mstud wrote:
Razzy wrote:
mstud wrote:Ja, det har du uansett, for alt som står bak det integraltegnet er på et vis ganget med to når du har et uttrykk på formen {2*v*w}
Av og til må man bare få ting på plass i hodet ett hundre ganger før det sitter :P

[tex]$$\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow 2\left( {x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow \cancel {\left( {2x \cdot 2{e^x}} \right)?$$[/tex]

[tex]$$\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \ne 2\left( {x \cdot {e^x}} \right)}?$$[/tex]Disse to siste her er faktisk like, men hvis det hadde stått 2(x+e^x), hadde du måttet gange både x og e^x med 2 hver for seg, slik du ville gjøre med gangestykket her!


Saken er altså:
[tex]\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow 2\left( {x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow \cancel {\left( {2x \cdot 2{e^x}} \right)} [/tex] , men [tex]\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) = 2\left( {x \cdot {e^x}} \right)=2x \dot e^x[/tex]


Kan også vise at [tex]{\left( {2x \cdot 2{e^x}} \right)=4x \cdot e^x}[/tex]
Du ser forskjellen hvis jeg illustrerer med tall: 2(1*1)=2*1*1=2, og dette er feil: 2(1*1)=2*1*2*1=2*2=4, det samme gjelder altså for 2(x*e^x) :!: :!:


men jeg så plutselig nå at det så ut som jeg hadde svart ja til alt dette, men det var altså ikke det jeg svarte ja på ...
Jeg skjønner det, jeg skjønner det!! Jippi!! :D

Posted: 18/03-2011 13:24
by Andreas345
Ja, ser det nå. De hadde skrevet om utrykket litt, så man slapp det.

Posted: 18/03-2011 13:29
by Razzy
Andreas345 wrote:Ja, ser det nå. De hadde skrevet om utrykket litt, så man slapp det.
Flott, da har vi orden i sysakene. :D

Har du hatt R2? Du er jo mildt sagt ganske dreven i integrasjon.

Det jeg har lært nå, er at delvis integrasjonsmetode og brøk oppspaltningsmetode brukes kun når substitusjon ikke fungerer!

Posted: 18/03-2011 13:48
by mstud
Razzy wrote:
Andreas345 wrote:Ja, ser det nå. De hadde skrevet om utrykket litt, så man slapp det.
Flott, da har vi orden i sysakene. :D

Har du hatt R2? Du er jo mildt sagt ganske dreven i integrasjon.

Det jeg har lært nå, er at delvis integrasjonsmetode og brøk oppspaltningsmetode brukes kun når substitusjon ikke fungerer!
Eller evt. i skrivesakene :P

Mener å ha sett at Andreas345 har hatt noen matematikkfag @ UiB i signaturlinjen sin tidligere, og i så fall bør han vel være dreven i integrasjon, sånn som jeg kanskje skal bli et vakkert år 2012 f.eks. :D


Hva bruker du hvis ingen av delene fungerer?

Svar: ten.kkitametam

Svaret står baklengs, slik det forhåpentligvis ikke gjør i matematikkboken :P :lol:

Posted: 18/03-2011 13:53
by Razzy
mstud wrote:Eller evt. i skrivesakene :P

Mener å ha sett at Andreas345 har hatt noen matematikkfag @ UiB i signaturlinjen sin tidligere, og i så fall bør han vel være dreven i integrasjon, sånn som jeg kanskje skal bli et vakkert år 2012 f.eks. :D


Hva bruker du hvis ingen av delene fungerer?

Svar: ten.kkitametam

Svaret står baklengs, slik det forhåpentligvis ikke gjør i matematikkboken :P :lol:
Da har man evt brukt veldig mye unødvendig tid på en prøve, hvis man ikke får det til ved noen av de metodene :) Hvis ingen av dem fungerer... Da begynner man på nytt! :P