matematikk.net

plutarco wrote:Aha, da ble det hele mye klarere. Meningen med oppg. 3 er å bruke induksjon for å vise at $\sum_{n=1}^k \frac{1}{n^2+n}=1-\frac{1}{k+1}$ for alle positive heltall $k$.

EDIT: Bare anta at den stemmer for k, og så legg til det neste leddet $\frac{1}{(k+1)^2+(k+1)}$ på begge sider, og omskriv til du får samme form som formelen.

Har gjort nettopp dette, Plutarco, og sikkert forsøkt 10 ganger nå, men får det ikke til å gå opp. Sitter med V.S. fortsatt.

For k + 1: [tex]\frac{1}{(k+1)^2+k+1}=1-\frac{1}{k+2}[/tex]

Legger til leddet med (k+1) i den opprinnelige formelen for n = k:

[tex]\frac{1}{k^2+k}+\frac{1}{(k+1)^2+(k+1)}[/tex]

Her kun V.S. Men er ikke dette riktig? Går ikke opp for min del i hvert fall og ser ikke ut til å være rett.

Nebuchadnezzar wrote: Å erstatte en ulikhet med en liket er jo fullt lov. Utsagnene $A = 2$ og $A \geq 2$ er jo like riktige. En likhet er jo bare grensetilfellet av en ulikhet. Men $A > 2$ er ikke det samme som $A \geq 2$.

Der lærte jeg noe nytt. Takk!

Prinsippet med induksjon har alltid forvirret meg selv om utregningen er lett.
Når man antar at uttrykket stemmer for n=k antar man jo at uttrykket stemmer for n=1, n=2, n=3 .. n=k.
Så skal man vise at det stemmer for n=k+1 og det beviser da at uttrykket stemmet for n=1, n=2... n=k, n=k+1, ...
Men i antagelsen antar man jo at prinsippet stemmer, altså at man kan øke n med en og en, og forsette slik opp til en verdi k og uttrykket holder fremdeles
Så viser man at det gjelder for k+1, men da kunne man jo like så godt bare antatt at det gjaldt for k+1 til å begynne med da.

Jeg skjønner at dersom det gjelder for to vilkårlige etterfølgende verdier betyr det at det også må gjelde for alle verdier, men det er dette med antagelsen som skurrer for meg. Hvis man må vise for n=1 hvorfor er det tilstrekkelig? Hvorfor må man ikke vise for n=2 også? Hvis man kan anta at det stemmer for n=2, hvorfor kan man ikke bare anta at det stemmer for n=1 også?

Gjest wrote:Når man antar at uttrykket stemmer for n=k antar man jo at uttrykket stemmer for n=1, n=2, n=3 .. n=k.

Nei, vi antar at det finnes MINST EN $n = k$ det stemmer for. Vi antar ikke at det stemmer for alle.

For eksempel:

Vi antar at det finnes en $n = k$ det stemmer for.

Vi viser at dersom det stemmer for $n = k$ så vil det også stemme for $n = k+1$

Men, vi har også vist at det stemmer for $n = 1$, og da må det også stemmer for $n = 1+1 = 2$. Og hvis det stemmer for $n = 2$, så må det også stemme for $n = 2+1 = 3$ osv...

Johan Nes wrote: Har gjort nettopp dette, Plutarco, og sikkert forsøkt 10 ganger nå, men får det ikke til å gå opp. Sitter med V.S. fortsatt.

For k + 1: [tex]\frac{1}{(k+1)^2+k+1}=1-\frac{1}{k+2}[/tex]

Legger til leddet med (k+1) i den opprinnelige formelen for n = k:

[tex]\frac{1}{k^2+k}+\frac{1}{(k+1)^2+(k+1)}[/tex]

Her kun V.S. Men er ikke dette riktig? Går ikke opp for min del i hvert fall og ser ikke ut til å være rett.

Lurer på om det er noe du har misforstått litt.

Vi antar at formelen stemmer for k.

Da har vi altså at

$\sum_{n=1}^k \frac{1}{n^2+n}=1-\frac{1}{k+1}$. Dermed er

$\sum_{n=1}^k \frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{(k+1)^2+k+1}=1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)^2+k+1}$, og dette kan vi omskrive til

$\sum_{n=1}^{k+1} \frac{1}{n^2+n}=1-\frac{k+2}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$, som også kan skrives

$\sum_{n=1}^{k+1} \frac{1}{n^2+n}=1-\frac{k+1}{(k+1)(k+2)}=1-\frac{1}{(k+1)+1}$ ved litt enkel 1T algebra.

Altså ser vi at formelen gjelder for k+1. Dette fullfører induksjonssteget.

Aleks855 wrote:

Gjest wrote:Når man antar at uttrykket stemmer for n=k antar man jo at uttrykket stemmer for n=1, n=2, n=3 .. n=k.

Nei, vi antar at det finnes MINST EN $n = k$ det stemmer for. Vi antar ikke at det stemmer for alle.

For eksempel:

Vi antar at det finnes en $n = k$ det stemmer for.

Vi viser at dersom det stemmer for $n = k$ så vil det også stemme for $n = k+1$

Men, vi har også vist at det stemmer for $n = 1$, og da må det også stemmer for $n = 1+1 = 2$. Og hvis det stemmer for $n = 2$, så må det også stemme for $n = 2+1 = 3$ osv...

Aha! Det forklarer jo veldig mye, tusen takk . Da gir det jo selvfølgelig veldig mye mening. Jeg har alltid lært at vi antar at det gjelder "opp til en k", men den versjonen skal jeg pent kaste rett ut av vinduet.

Johan Nes wrote:

Nebuchadnezzar wrote: Å erstatte en ulikhet med en liket er jo fullt lov. Utsagnene $A = 2$ og $A \geq 2$ er jo like riktige. En likhet er jo bare grensetilfellet av en ulikhet. Men $A > 2$ er ikke det samme som $A \geq 2$.

Der lærte jeg noe nytt. Takk!

Her må det jo presiseres at utsagnene ikke er ekvivalente. Mer presist er å skrive at $A=2\Rightarrow A\geq 2$, men $A=2\not \Leftarrow A\geq 2$

plutarco wrote: Lurer på om det er noe du har misforstått litt.

Altså ser vi at formelen gjelder for k+1. Dette fullfører induksjonssteget.

Ser ikke bort fra at jeg har misforstått, nei.

Men her la du til kun på H.S.? Skal ikke man gjøre det på begge sider? Dvs, jeg ser jo at du har gjort det på V.S. også, men så skriver du bare k+1 øverst på summetegnet? Just like that?

Johan Nes wrote:

plutarco wrote: Lurer på om det er noe du har misforstått litt.

Altså ser vi at formelen gjelder for k+1. Dette fullfører induksjonssteget.

Ser ikke bort fra at jeg har misforstått, nei.

Men her la du til kun på H.S.? Skal ikke man gjøre det på begge sider? Dvs, jeg ser jo at du har gjort det på V.S. også, men så skriver du bare k+1 øverst på summetegnet? Just like that?

Nei, jeg la til leddet $\frac{1}{(k+1)^2+k+1}$ på begge sidene, og omskrev deretter summen ved at jeg inkluderte dette leddet i den.