Induksjonsbeviset

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg strever litt med induksjonsbeviset. Jeg føler jeg forsto det noenlunde når jeg hadde R2, men har vært ute for noen oppgaver nå som jeg ikke får til å løse.

Slik jeg har forstått det er gangen som følger:

1. Sjekker at formelen er rett for n = 1. Hvis V.S. = H.S. --> Ok!

2. Antar at formelen er rett for n = k hvor k er et vilkårlig valgt naturlig tall.

3. Skal nå sjekke at formelen er rett også for n = k + 1. Det man da gjør er å ta den opprinnelige formelen med n = k, men legger til + 1 hvor k er en faktor på begge sider (V.S. og H.S). Dette er jo mer eller mindre bare å sette inn (k+1) hvor det før sto kun k, eller (k+2) hvor det alt sto (k+1), men ofte kan man da forenkle uttrykket noe til slutt.

4. Tilbake til formelen/uttrykket for n = k. Nå legger vi til (k+1) på både V.S. og H.S. Vi regner ut dette og trikser litt med algebra. Voila, så har vi samme uttrykk som for (k+1) i punkt 3 og har vist at formelen er rett også for n = k +1.

Er ikke dette riktig?

[Gustav]

Ser ganske riktig ut, men det er en forskjell på å bare bytte ut k med k+1, og det å legge til neste ledd i en sum, for så å omskrive til et likning på samme form.

[Johan Nes]

La oss for eksempel bevise at

[tex]\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/tex]

Vi hopper raskt til n = k + 1 og får følgende uttrykk for n = k +1:

[tex]\frac{1}{(k+1)^2+k+1}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\Leftrightarrow \frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}[/tex]

Skal eller kan ikke jeg da gå til steg 4 som skissert over og legge til (k+1) på hver side av uttrykket for n = k, regne ut og se at det blir det samme som uttrykket over?

Altså,

[tex]\frac{1}{k^2+k}+ \frac{1}{(k+1)^2+(k+1)} =\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)^2+(k+1)}[/tex]

?

Og så regner jeg ut dette og ser om jeg får samme uttrykk som for n = k + 1?

Det er i hvert fall slik jeg har tenkt, men når jeg skal regne det ut, så stemmer det ikke. Så enten har jeg:

1. Tenkt helt feil.

2. Lagt til feil ledd på V.S. og H.S.

3. Crappy algebra.

På forhånd takk om noen kan hjelpe til her!

[Gustav]

Jeg ville aldri brukt induksjon på denne oppgaven. Det virker jo mer komplisert enn å bruke delbrøksoppspaltning.

La oss heller ta et eksempel der induksjon er den beste bevismetoden:

Si at vi skal bevise at $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ for alle positive heltall $n$.

Hvordan ville du gjort det?

[Johan Nes]

Jeg ville aldri brukt induksjon på denne oppgaven. Det virker jo mer komplisert enn å bruke delbrøksoppspaltning.

Men var det jeg gjorde feil? Og hvordan beviser man ved å bruke delbrøkoppspalting?

På forrige deloppgave under samme oppgave viste jeg nemlig at V.S. = H.S. ved å bruke nettopp delbrøkoppspalting.

Ellers spesifiserer oppgaven at jeg skal bruke induksjon til å vise det, om jeg har forstått riktig.

La oss heller ta et eksempel der induksjon er den beste bevismetoden:

Si at vi skal bevise at $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ for alle positive heltall $n$.

Hvordan ville du gjort det?

1. Skriver ut formelen for V.S. og H.S. [tex]1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

2. Sjekker for n = 1: [tex]1=\frac{1(1+1)}{2}[/tex]

Ok!

3. Antar at formelen er rett for n = k.

4. Skal nå vise at den er rett også for n = k + 1, dvs [tex]1+2+3+...+k+1=\frac{(k+1(k+1+1)}{2}[/tex] = [tex]1+2+3+...+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

5. Legger nå til (k+1) på hver side for uttrykket for n = k (punkt 3):

[tex]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)[/tex]

[tex]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}[/tex]

[tex]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

Som er det samme vi fikk i punkt 4.

QED?

[Kjemikern]

Denne tror jeg er den meste vanlige metoden man lærer i R2

Antar først at det stemmer for n=1 Ok!



Antar at det stemmer for n=k !

[tex]1+2+3...+k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex]

Antar så at det må stemme for neste ledd n=k+1


Dette gir oss [tex]1+2+3...k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

Da vi har antatt at det stemmer for n=k, da kan vi bytte ut k med
[tex]k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex]

Nå gjelder det å bevise at V.S= H.S

[tex]1+2+3...\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

[Guest]

[tex]1+2+3...\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

Du må nok erstatte hele den første delen av rekka med antagelsen din
slik:
[tex]\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

[Gustav]

3. Antar at formelen er rett for n = k.

4. Skal nå vise at den er rett også for n = k + 1, dvs [tex]1+2+3+...+k+1=\frac{(k+1(k+1+1)}{2}[/tex] = [tex]1+2+3+...+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

5. Legger nå til (k+1) på hver side for uttrykket for n = k (punkt 3):

[tex]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)[/tex]

[tex]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}[/tex]

[tex]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

Som er det samme vi fikk i punkt 4.

QED?

Ja, dette ser bra ut:)

[Johan Nes]

Ja, dette ser bra ut:)

Bra! Jeg føler jo at jeg har rimelig kontroll på bevisene med induksjon i R2. Det er jo mer eller mindre ren algebra-regning.

Men jeg sitter jo igjen med den uløste oppgaven i hovedinnlegget.

[Gustav]

Ja, dette ser bra ut:)

Bra! Jeg føler jo at jeg har rimelig kontroll på bevisene med induksjon i R2. Det er jo mer eller mindre ren algebra-regning.

Men jeg sitter jo igjen med den uløste oppgaven i hovedinnlegget.

Orker du å skrive ned oppgaveteksten helt eksakt? Jeg forstår ikke helt vitsen med å skulle bruke induksjon for å vise at $\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.

Det er svært lett å vise dette uten induksjon. F.eks.

(for n ulik 0 og -1)
1=1
1=n+1-n
Del begge sider med n^2+n, og vi er ferdig.

[Johan Nes]

Hele oppgaven er som følger:

I denne oppgaven skal vi regne ut summen til følgende rekke:

[tex]\sum_{n=1 }^{\infty}\frac{1}{n^2+n}[/tex]

DELOPPGAVE 1: Bruk delbrøkoppspalting til å vise at:

[tex]\frac{1}{n^2+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/tex]

Plankekjøring.

DELOPPGAVE 2:

Bruk resultatet fra a) til å gjette en formel for delsummene til rekken som er gitt innledningsvis.

Her substituerte jeg bare venstre side over med høyre side. Ser ut til å være en teleskoprekke. Jeg skrev ut de første leddene og jepp, det viste seg å være en teleskoprekke.

Har ikke notatene for hånd, men tror jeg kom til at summen for en delsum skulle bli [tex]S^{_{N}}=1-\frac{1}{N+1}[/tex]

som jo skulle bli 1 når N går mot uendelig.

DELOPPGAVE 3:

Bevis formelen ved å bruke induksjon.

Det var denne jeg postet i hovedinnlegget her. Litt usikker hvor jeg skal tolke oppgaveteksten. Er det formelen i deloppgave 1 eller formelen for delsummen? Jeg gikk ut fra deloppgave 1, men det kan vel like gjerne være formelen for delsummene.

DELOPPGAVE 4:

Bruk det du har gjort til å vise at rekken konvergerer. Hva er summen?

Summen er jo 1, som vist i oppgave 2.

Og ved divergenstesten ser vi vel at ledd [tex]a_{n\rightarrow }0[/tex] når [tex]n\rightarrow \infty[/tex] og dermed har vi vel vist at rekken konvergerer?

Please advice.

[Gustav]

Aha, da ble det hele mye klarere. Meningen med oppg. 3 er å bruke induksjon for å vise at $\sum_{n=1}^k \frac{1}{n^2+n}=1-\frac{1}{k+1}$ for alle positive heltall $k$.

EDIT: Bare anta at den stemmer for k, og så legg til det neste leddet $\frac{1}{(k+1)^2+(k+1)}$ på begge sider, og omskriv til du får samme form som formelen.

[Gustav]

DELOPPGAVE 4:

Bruk det du har gjort til å vise at rekken konvergerer. Hva er summen?

Summen er jo 1, som vist i oppgave 2.

Og ved divergenstesten ser vi vel at ledd [tex]a_{n\rightarrow }0[/tex] når [tex]n\rightarrow \infty[/tex] og dermed har vi vel vist at rekken konvergerer?

Divergenstesten funker nok ikke i dette tilfelle. Det eneste du kan bruke den til er å vise at rekker divergerer. Ta rekken $\sum_n \frac{1}{n}$. Det er kjent at denne divergerer, til tross for at $\lim_{n\to\infty} a_n =0$.

Du ser ved å ta grensen at rekken din konvergerer. En annen mulighet for å vise konvergens er å sammenligne med den harmoniske rekken.

[Johan Nes]

Takker og bukker, Plutarco!

Er på farten nå, men skal regne på det om litt. Tror jeg er med på notene.

Jeg har egentlig samme problemstilling nederst på siden her om du har tid og lyst:

http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 14&t=41919

Gjest kom med noe som så ut til å være en glitrende løsning, men han erstattet et uttrykk med en ulikhet, så jeg er usikker på om det er helt rett.

[Nebuchadnezzar]

Hva man lærer på VGS er nok bare en liten del av hva induksjon er, og hva det kan brukes til. Selv om en klarer algebraen merker hvertfall jeg at både studenter og elever ikke egentlig forstår hvorfor induksjon fungerer, eller å kunne bruke den i uvante situasjoner. Som for eksempel ulikheter, eller abstrakt algebra.

Når det er sagt så har vi

$ \hspace{1cm}
\frac{1}{n^2 + n} = \frac{(n + 1) - n}{(n+1)n} = \frac{n+1}{(n+1)n} - \frac{n}{(n+1)n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
$

Dette kan brukes i summen din, ved å skrive ut en del ledd får vi

$
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^k \frac{1}{n^2 + n}
& = \sum_{n = 1}^k \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\
& = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) + \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\
& = 1 - \frac{1}{1 + k}
\end{align*}
$

Å erstatte en ulikhet med en liket er jo fullt lov. Utsagnene $A = 2$ og $A \geq 2$ er jo like riktige. En likhet er jo bare grensetilfellet av en ulikhet. Men $A > 2$ er ikke det samme som $A \geq 2$.