Taylorpolynomer/rekker.Potensrekker.Maclaurinrekker.Hjelp?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

plutarco wrote:Det er jo riktig, men du kunne også derivert ledd for ledd og satt inn x=0. Du får jo samme svar, selvsagt.
Takker!

Jo, men regner med du har vært borte i denne metodikken? En annen oppgave skulle vi finne den 8. deriverte. Tror tanken var at denne metoden gikk kjappere når graden av den deriverte var høy. Men akkurat i det tilfellet var det et enkelt uttrykk med repeterende struktur, så det var faktisk vel så enkelt å derivere direkte. :D

I oppgaven jeg postet nå var det jo ikke mange derivasjonene, så hadde kanskje vært like enkelt.
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

"Finn Taylorrekken i [tex]x=1[/tex] til funksjonen [tex]f(x)=e^x-1[/tex]."

Fasit:

"Taylorrekken er Maclaurinrekken til [tex]e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}(x-1)^n[/tex]

Er ikke helt med på denne. Noen innspill?

Jeg tenkte første at man her må finne Taylorrekken om [tex]x=1[/tex] for [tex]e^x[/tex] som jo skulle bli

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n[/tex] og så ta det derfra Men lenger kom jeg ikke i denne omgang.

For min del kan det jo se ut som om fasit ikke er helt korrekt her. Ser ut som det er Maclaurinrekken om x=0 og eksponent (x-1) i stedet. Men jeg aner virkelig ikke.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Siden $e^x = \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^i$. Ved å bytte ut $x$ med $x - 1$ får vi

$ \hspace{1cm}
e^{x - 1} = \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{n!} (x - 1)^i
$

Ser hvor du får $e$ fra men fremangsmåten i fasiten er hvertfall som den ovenfor =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Johan Nes wrote:"Finn Taylorrekken i [tex]x=1[/tex] til funksjonen [tex]f(x)=e^x-1[/tex]."

"Taylorrekken er Maclaurinrekken til [tex]e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}(x-1)^n[/tex]

Er ikke helt med på denne. Noen innspill?
Ikke rart du ikke er helt med, siden fasiten er feil. Her er mitt (tungvinte) forslag:

Vi kan utnytte at Maclaurinrekken til $e^x-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.

Hvis vi foretar substitusjonen $x\to x-1$ får vi at

$e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$.

Hvis vi definerer $g(x)=e^{x-1}-1$, så vil

$e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$ være Taylorrekka til $g(x)$ om $x=1$.

Multipliser ligningen med $e$:

$e\cdot e^{x-1}-e=e\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$

$e^{x}-e=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e(x-1)^n}{n!}$

Legg til $e-1$ på begge sider, så får vi

$e^{x}-1=e-1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e(x-1)^n}{n!}$, som er Taylorrekka til $e^x-1$ om punktet $x=1$.

Det mest lettvinte her er vel å gå rett på definisjonen av taylorrekker, og regne ut koeffisientene direkte..
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

plutarco wrote:Det mest lettvinte her er vel å gå rett på definisjonen av taylorrekker, og regne ut koeffisientene direkte..
Hjertelig takk for den flotte utledningen! :)

Jeg kom også til at det enkleste, for min del i hvert fall, ble å bruke definisjonen av taylorpolynom/rekker direkte. Fungerte veldig fint.

PS: Takk til Nebu også. :D
Post Reply