Derrivazione
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det er ikke mye tilfeldig. Det er rett og slett kjerneregelen i kombinasjon med potensregelen. Se litt på de
Fry: Hey, professor. Which course do you teach?
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Hei, no sliter jeg med denne oppgaven [tex](x^2+1) ^3\sqrt{x^4}[/tex]
Jeg prøvde først å derivere de hver for seg slik
[tex](x^2+1)^\prime = 2x[/tex]
[tex]^3\sqrt{x^4}^\prime = \frac{4x^3}{3(x^4)^{\frac{1}{3}}}[/tex]
[tex]2x \cdot \frac{4x^3}{3(x^4)^{\frac{1}{3}}} = \frac{8x^4}{3(x^4)^{\frac{1}{3}}}[/tex]
Det funket ikke, så då prøvde jeg å bruke kjerneregelen, men der sliter jeg. Hva skal jeg bruke som kjernen. Jeg tenkte x^2 og fikk [tex](u+1)\sqrt[3]{2u}[/tex] , men så stopper det. Noen som har noen tips?
Fasiten er [tex]3\frac{1}{3}\sqrt[3]{x^7} + 1\frac{1}{3}\sqrt[3]{x}[/tex]
Jeg prøvde først å derivere de hver for seg slik
[tex](x^2+1)^\prime = 2x[/tex]
[tex]^3\sqrt{x^4}^\prime = \frac{4x^3}{3(x^4)^{\frac{1}{3}}}[/tex]
[tex]2x \cdot \frac{4x^3}{3(x^4)^{\frac{1}{3}}} = \frac{8x^4}{3(x^4)^{\frac{1}{3}}}[/tex]
Det funket ikke, så då prøvde jeg å bruke kjerneregelen, men der sliter jeg. Hva skal jeg bruke som kjernen. Jeg tenkte x^2 og fikk [tex](u+1)\sqrt[3]{2u}[/tex] , men så stopper det. Noen som har noen tips?
Fasiten er [tex]3\frac{1}{3}\sqrt[3]{x^7} + 1\frac{1}{3}\sqrt[3]{x}[/tex]
Jeg ville nok hatt to forskjellige kjerner, slik at du kunne derivert
u^3 *[symbol:rot]v
(Og om du hadde satt u = x^2, så ville ikke x^4 vært lik 2u. Tenk hva du har gjort feil der
)
u^3 *[symbol:rot]v
(Og om du hadde satt u = x^2, så ville ikke x^4 vært lik 2u. Tenk hva du har gjort feil der
)Fry: Hey, professor. Which course do you teach?
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Nei, det ville jo blitt u^2 selvfølgelig. 
Forresten så skulle det stå [tex](x^2+1) \cdot \sqrt[3]{x^4}[/tex] , fikk ikke helt til den tredjeroten.
Uansett, jeg prøvde med to kjerner og fikk [tex](u)\sqr[3]{v}[/tex] der u = 2x og v = 4x^3
Så tok jeg rotuttrykket først. Derivert blir det [tex]\frac{4x^3}{3(x^4)^{\frac{2}{3}}}[/tex]
Men no er jeg på samme sporet som isted og det funker jo ikke. Hva er det jeg gjør feil?
Forresten så skulle det stå [tex](x^2+1) \cdot \sqrt[3]{x^4}[/tex] , fikk ikke helt til den tredjeroten.
Uansett, jeg prøvde med to kjerner og fikk [tex](u)\sqr[3]{v}[/tex] der u = 2x og v = 4x^3
Så tok jeg rotuttrykket først. Derivert blir det [tex]\frac{4x^3}{3(x^4)^{\frac{2}{3}}}[/tex]
Men no er jeg på samme sporet som isted og det funker jo ikke. Hva er det jeg gjør feil?
Det kan veldig gjerne være at uttrykket er rett, men ikke er oppstilt på samme måten. Regner egentlig med at man må bruke produkt og kjerneregelen for å løse denne.
Frykter dessuten at uttrykket er [tex](x^2+1)^3\cdot x^{\frac{4}{2}}[/tex] og ikke slik vi originalt trodde
Frykter dessuten at uttrykket er [tex](x^2+1)^3\cdot x^{\frac{4}{2}}[/tex] og ikke slik vi originalt trodde
Ah, det gjør saken litt anderledes
Det er vel faktisk ikke strengt nødvendig å bruke to kjerner når jeg tenker meg om. Utrykket kan også skrives slik:
[tex](x^2 +1) \cdot x^{\frac{4}{3}[/tex]
Da holder det å sette u til x^2 +1, og bruke produktregelen
Det er vel faktisk ikke strengt nødvendig å bruke to kjerner når jeg tenker meg om. Utrykket kan også skrives slik:
[tex](x^2 +1) \cdot x^{\frac{4}{3}[/tex]
Da holder det å sette u til x^2 +1, og bruke produktregelen
Fry: Hey, professor. Which course do you teach?
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
[tex]f_{(x)}=(x^2+1)\cdot {\sqrt[3]{x^4}}[/tex]
[tex]f^\prime_{(x)}=2x({\sqrt[3]{x^4}})+(x^2+1)\cdot {\sqrt[3]{x}}=2x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}(x^2+1)\cdot x^{\frac{1}{3}}[/tex] Ser ikke ut som samme uttrykket som fasitsvaret spør du meg.
Ved hjelp av bare produktregelen på denne. Det andre tilfelle fant jeg mye verre.
[tex]f^\prime_{(x)}=2x({\sqrt[3]{x^4}})+(x^2+1)\cdot {\sqrt[3]{x}}=2x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}(x^2+1)\cdot x^{\frac{1}{3}}[/tex] Ser ikke ut som samme uttrykket som fasitsvaret spør du meg.
Ved hjelp av bare produktregelen på denne. Det andre tilfelle fant jeg mye verre.
Jeg fikk [tex]2x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}[/tex] men det ser ikke akkurat ut som det stemmer heller.
Jeg gjorde slik: [tex]u\cdot x^{\frac{4}{3}}=(2x\frac x^{\frac{4}{3}})+(x^2+1)\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=2x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}[/tex]
Måtte jeg ha ganget alt dette med u' no?
Jeg gjorde slik: [tex]u\cdot x^{\frac{4}{3}}=(2x\frac x^{\frac{4}{3}})+(x^2+1)\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=2x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}[/tex]
Måtte jeg ha ganget alt dette med u' no?
Ja, jeg glemte noe, det skulle stå [tex]u\cdot x^{\frac{4}{3}}=(2x\cdot x^{\frac{4}{3}})+(x^2+1)\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=2x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{7}{3}}+\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}[/tex]
Men jeg er ikke helt sikker på at det er rett.
Men jeg er ikke helt sikker på at det er rett.
Er rett det, har prøvd på kalkulatoren og sjekket på QuickMath. Identiske uttrykk.
[tex]f_{(x)}=(x^2+1)^3\sqrt{x^4}[/tex]
[tex]f^\prime_{(x)}=3(x^2+1)^2\cdot \sqrt{x^4}+\left(\frac{(x^2+1)^3}{2\sqrt{x^4}}\right)[/tex]
Noen som vet om dette er rett, har satt på prøve, og svarer bommer med ca.400. Dette er vel en grei tilnærmingsverdi for det?
[tex]f_{(x)}=(x^2+1)^3\sqrt{x^4}[/tex]
[tex]f^\prime_{(x)}=3(x^2+1)^2\cdot \sqrt{x^4}+\left(\frac{(x^2+1)^3}{2\sqrt{x^4}}\right)[/tex]
Noen som vet om dette er rett, har satt på prøve, og svarer bommer med ca.400. Dette er vel en grei tilnærmingsverdi for det?
God kveld 
Har holdt på med litt derivasjon i aften og har kommet over en liten nøtt (selvfølgelig):
[tex]f_{(x)}=ln(x+(x^2+1)^{\frac{1}{2}})[/tex]
Prøvde meg på den vanlige:
[tex]f^\prime_{(x)}=\frac{1}{(x+(x^2+1)^{\frac{1}{2}})}\cdot (1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}})[/tex] og det var ikke korrekt (mangler fasit pga. våre forfedre tydeligvis ikke fant det nødvendig på 50-tallet).
Sjekket på QuickMath og fant at svaret skulle være lik: [tex]\frac{(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1)}{(x+\sqrt{x^2+1})}[/tex]
Da satt jeg meg og tenkte så det knakte, prøvde å finne ut hva som kunne ha skjedd her.
Det eneste jeg kunne komme fram til var at, under regning, hadde dette skjedd:
[tex]u=(x+(\sqrt{v}))[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]u^\prime=(1+\sqrt{v}\cdot v^\prime)=(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})[/tex]
[tex]v^\prime=(x^2+1)^\prime=2x[/tex]
Som da gir:
[tex]f^\prime_{(x)}=\frac{(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1)}{(x+\sqrt{x^2+1})}[/tex]
Og så til spørsmålet, er dette vanlig prosedyre for å derivere funksjoner? Kan jeg tenke på den måten jeg har gjort for å finne løsningen her ved andre tilfeller også?
Takker, bukker,nikker og neier
Har holdt på med litt derivasjon i aften og har kommet over en liten nøtt (selvfølgelig):
[tex]f_{(x)}=ln(x+(x^2+1)^{\frac{1}{2}})[/tex]
Prøvde meg på den vanlige:
[tex]f^\prime_{(x)}=\frac{1}{(x+(x^2+1)^{\frac{1}{2}})}\cdot (1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}})[/tex] og det var ikke korrekt (mangler fasit pga. våre forfedre tydeligvis ikke fant det nødvendig på 50-tallet).
Sjekket på QuickMath og fant at svaret skulle være lik: [tex]\frac{(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1)}{(x+\sqrt{x^2+1})}[/tex]
Da satt jeg meg og tenkte så det knakte, prøvde å finne ut hva som kunne ha skjedd her.
Det eneste jeg kunne komme fram til var at, under regning, hadde dette skjedd:
[tex]u=(x+(\sqrt{v}))[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]u^\prime=(1+\sqrt{v}\cdot v^\prime)=(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})[/tex]
[tex]v^\prime=(x^2+1)^\prime=2x[/tex]
Som da gir:
[tex]f^\prime_{(x)}=\frac{(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1)}{(x+\sqrt{x^2+1})}[/tex]
Og så til spørsmålet, er dette vanlig prosedyre for å derivere funksjoner? Kan jeg tenke på den måten jeg har gjort for å finne løsningen her ved andre tilfeller også?
Takker, bukker,nikker og neier
Det kan være jeg missforstår det, men lurer du på om det er vanlig eller riktig å bruke kjerneregelen flere ganger?
Fry: Hey, professor. Which course do you teach?
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Jeg ville ha løst den på følgende måte:
- og her bruker jeg kjernereglen inne i kjernereglen, hvilke jeg mener er helt kurrant!
[tex]f{(x)} = ln(x+(x^2+1)^{\frac{1}{2}})[/tex]
[tex]f(u) = lnu[/tex]
F[tex]^\prime{(u){= \frac{1}{u} * u^\prime[/tex]
[tex]hvor u= (x+(sqrt{(x^2+1)})[/tex]
[tex]u= (x+(sqrt{(z)})[/tex]
[tex]hvor z= x^2+1[/tex]
[tex]u^\prime=1+{\frac{1}{2sqrt{z}}*z^\prime[/tex]
[tex]z^\prime =2x[/tex]
[tex]u^\prime=1+{\frac{1}{2sqrt{x^2+1}}*2x[/tex]
[tex]u^\prime=1+{\frac{x}{sqrt{x^2+1}}[/tex]
og derfor er
[tex]f^\prime{(x)} = {\frac{1}{(x+(sqrt{x+(x^2+1)})}* (1+{\frac{x}{sqrt{(x^2+1)}})[/tex]
[tex]f^\prime{(x)}=\frac{(\frac{x}{sqrt{(x^2+1)}}+1)}{x+\sqrt{(x^2+1)})}[/tex]
- og her bruker jeg kjernereglen inne i kjernereglen, hvilke jeg mener er helt kurrant!
[tex]f{(x)} = ln(x+(x^2+1)^{\frac{1}{2}})[/tex]
[tex]f(u) = lnu[/tex]
F[tex]^\prime{(u){= \frac{1}{u} * u^\prime[/tex]
[tex]hvor u= (x+(sqrt{(x^2+1)})[/tex]
[tex]u= (x+(sqrt{(z)})[/tex]
[tex]hvor z= x^2+1[/tex]
[tex]u^\prime=1+{\frac{1}{2sqrt{z}}*z^\prime[/tex]
[tex]z^\prime =2x[/tex]
[tex]u^\prime=1+{\frac{1}{2sqrt{x^2+1}}*2x[/tex]
[tex]u^\prime=1+{\frac{x}{sqrt{x^2+1}}[/tex]
og derfor er
[tex]f^\prime{(x)} = {\frac{1}{(x+(sqrt{x+(x^2+1)})}* (1+{\frac{x}{sqrt{(x^2+1)}})[/tex]
[tex]f^\prime{(x)}=\frac{(\frac{x}{sqrt{(x^2+1)}}+1)}{x+\sqrt{(x^2+1)})}[/tex]