Trigonometri

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
Jasmin88
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 11
Joined: 15/10-2006 19:45

Hei på dere :D

Jg trenger litt hjelp med en trigonometri oppgave. Så hvis det er noen som har noen løsnings forslag, så er jeg dere evig takknemelig! Så fort som mulig...

Oppgaven;

I den rettvinklede trekanten ABC er vinkel BAC= 2v, vinkel B = 90grader, og AC = 1. Punktet D, som ligger på forlengelsen av kateten AB, er bestemt ved at AD = 1. Normalen fra A er på DC treffer DC i E.

a) Finn AB og BC uttrykt ved v
b) Forklar at vinkel ADC = vinkel DCA = v
c) Forklar at
cos v = 1 + cos 2v / 2cos v

Tusen takk på forhånd!:)[/list]
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

Jasmin88 wrote:Hei på dere :D
Jg trenger litt hjelp med en trigonometri oppgave. Så hvis det er noen som har noen løsnings forslag, så er jeg dere evig takknemelig! Så fort som mulig...
Oppgaven;
I den rettvinklede trekanten ABC er vinkel BAC= 2v, vinkel B = 90grader, og AC = 1. Punktet D, som ligger på forlengelsen av kateten AB, er bestemt ved at AD = 1. Normalen fra A er på DC treffer DC i E.
a) Finn AB og BC uttrykt ved v
b) Forklar at vinkel ADC = vinkel DCA = v
c) Forklar at
cos v = 1 + cos 2v / 2cos v
Tusen takk på forhånd!:)[/list]
a)

cos(2v) = AB/1, AB = cos(2v)

BC = [symbol:rot] (1 - cos[sup]2[/sup](2v)) = [symbol:rot] (sin[sup]2[/sup](2v)) = sin (2v)


b)

Vinkel DAC er lik (180[sup]o[/sup] - 2v) som medfører ADC = vinkel DCA lik v.


c)
cos(v) = DE = CE
sin(v) = AE/1

sin(v) = AE

[tex]sin(v)\;=\;[/tex][tex]sin(v)\over sin^2v+cos^2v[/tex]

[tex]1\;=\;[/tex][tex] sin^2v+cos^2v[/tex]

[tex]{1\over2}{(1-cos(2v))}+cos^2v\;=\;1[/tex]

[tex]2cos^2v\;=\;[/tex][tex]1+cos(2v)[/tex]

[tex]cos(v)\;=\;[/tex][tex]1+cos(2v)\over 2cos(v)[/tex]


q.e.d.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Jasmin88
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 11
Joined: 15/10-2006 19:45

hei.. Tusen takk!!! Takk for at du har skrevet det så detaljert, da ble det lettere å forstå det!

men du, hvordan finner jeg DC uttrykt ved v? i den samme oppgaven?
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

Jasmin88 wrote:hei.. Tusen takk!!! Takk for at du har skrevet det så detaljert, da ble det lettere å forstå det!

men du, hvordan finner jeg DC uttrykt ved v? i den samme oppgaven?

Har du tegning, ser du lett at DC = DE + CE, der DE = CE = cos(v)

DC = 2cos(v)

:wink:
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Jasmin88
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 11
Joined: 15/10-2006 19:45

Janhaa wrote:
Jasmin88 wrote:hei.. Tusen takk!!! Takk for at du har skrevet det så detaljert, da ble det lettere å forstå det!

men du, hvordan finner jeg DC uttrykt ved v? i den samme oppgaven?

Har du tegning, ser du lett at DC = DE + CE, der DE = CE = cos(v)

DC = 2cos(v)

:wink:

Tusen hjertlig takk!! må si u er smart! hehe.. takk igjen!
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

Kjempefint om noen kan forklare overgangen fra

[tex]1\;=\;[/tex][tex] sin^2v+cos^2v[/tex]

til

[tex]{1\over2}{(1-cos(2v))}+cos^2v\;=\;1[/tex]

At [tex]\sin^2(v)= 1-\cos^2(v)[/tex] skjønner jeg, men hvor [tex]\frac{1}{2}[/tex] og [tex]2v[/tex] kommer fra her, skjønner jeg lite av. :(
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Bruk at [tex]\cos(2u) = \cos(u)^2 - \sin(u)^2[/tex] i kombinasjon med at [tex]\sin(u)^2 = 1 - \cos(u)^2[/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

Nå spør jeg muligens dumt, men hvorfor er [tex]\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)[/tex]?
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:

Poenget her er vel å forklare ut i fra figuren. Jeg antar oppgaven er ment som et slags bevis for nettopp denne formelen. Så da kan man jo ikke ta snarveien og ta utgangspunkt i den.

malef: cos v = DE. Kan du finne et annet et uttrykk for DE som involverer AB (cos 2v)? (Hint: DE = 1/2 DC. Kan DC uttrykkes som noe annet? Merk at DC er en hypotenus i trekant BCD.)

EDIT: Spørsmålet er ikke dumt! Dette er en vanlig (og veldig nyttig) formel. Som sagt er nok et av poengene med denne oppgaven å nettopp se hvorfor den er riktig.

Dette er en av fire formler du vil ha stor hjelp av å kunne:

[tex]\cos(2v) = \cos^2 v - \sin^2 v = 2\cos^2 v - 1 = 1 - 2\sin^2 v[/tex]
[tex]\sin(2v) = 2 \sin v \cos v[/tex]
Elektronikk @ NTNU | nesizer
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

Takk for svar begge to! Jeg tygger litt på hjelpen jeg har fått, og håper dere er her i morgen også :)
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

Vektormannen: Takk for formlene! Enten er de ikke blitt presentert i boka, eller så har de bare gått meg hus forbi.

Nå tror jeg at jeg har funnet DC på en "ordentlig" måte. Vi har at vinkel D er v. Det gir at [tex]\cos v = \frac{DB}{DC}=\frac{1+ \cos (2v)}{DC} \ \Leftrightarrow \ DC= \frac{1 + \cos (2v)}{cos v} = \frac{1+ \cos^2v- \sin^2v}{cos v} = \frac{1+2 \cos^2v-1}{\cos v}= \frac{2 \cos^2v}{\cos v}=2 \cos v[/tex]

[tex]DE= \frac{DC}{2}=\cos v[/tex]

Jeg vet ikke om det var dette du mente da du spurte etter DE, men det var uansett en nyttig øvelse :) Nå føler jeg meg bedre rustet til å gå i gang med det jeg spurte om over.

Er det riktig så langt?

Edit: Selvsagt finnes formlene i boka ...
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:

Hvordan har du gått fra DB til 1+cos(2v)? Husk at poenget her er å komme frem til formelen [tex]\cos^2v = \frac{1+\cos(2v)}{2}[/tex], så da kan du ikke bruke den underveis.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

Vektormannen wrote:Hvordan har du gått fra DB til 1+cos(2v)? .
Jeg glemte kanskje hva jeg holdt på med, men av figuren fremgår det at [tex]DB=DA+AB[/tex]. Figuren viser at [tex]DA=1[/tex], og fra tidligere vet vi at [tex]AB=\cos(2v).[/tex] Men i og med at figuren ikke fins i tråden, var ikke det lett for andre å vite. :)

Etter leksjonen jeg fikk i går, tror jeg at jeg nå er i stand til å vise at [tex]\cos v = \frac{1+\cos (2v)}{2 \cos v}[/tex]

[tex]\cos (2v)=1-2\sin^2v \\ 2 \sin^2v=1-\cos(2v) \\ \sin^2v=\frac{1-\cos(2v)}{2} \\ 1- \cos^2v=\frac{1-\cos(2v)}{2} \\ \cos^2v=\frac{\cos(2v)-1}{2}+1 \\ \cos^2v=\frac{1+\cos(2v)}{2} \\ \cos v = \frac{1+\cos(2v)}{2 \cos v} [/tex]

Tusen takk for hjelpen! Tror jeg skal klare å huske denne formelen nå :)

Edit: rettet i koden
Last edited by malef on 22/09-2012 13:59, edited 1 time in total.
fuglagutt
Fermat
Fermat
Posts: 779
Joined: 01/11-2010 12:30

malef wrote:
[tex]1- \cos^2v=1-\cos(2v) [/tex]
Denne er vel ikke helt korrekt?
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

Nei, det ble feil - det ble visst litt mye kode for meg :) Rettet nå.
Post Reply