Inhomogene liniære 2ordens diff likning

[Shira]

Inhomogen likning: $X_n+6X_{n-1}+9X_{n-2}=2^n$


jeg har formelen
$X_n=X_n^h+X_n^p$

Jeg har funnet $X_n^h=(A+B_n)(-3{)}^n$ som er generell løsning av den homogene ligningen, denne er riktig.

Siden $f(n)=2^n$ så kan jeg prøve å finne en konstant M slik at
$X_n^p=M{2}^n.$

Jeg setter dette inn i den opprinnelige ligningen og får:
$M{2}^n+6M{2}^{n-1}+9M{2}^{n-2}=2^n$

Men hvordan i all verden skal jeg komme meg videre nå jeg har bladd masse i forskjellige mattebøker, men jeg kommer bare til en enklere utgave hvor det brukes An + B istedet for $M{2}^n$ som jeg må bruke... M skal bli 4/25 deler noe jeg ihvertfall ikke får til grrr

Jeg håper virkelig noen kan hjelpe meg..

[Cauchy]

Hei, du må gjøre flg omskriving
$M{2}^n+6M{2}^{n-1}+9M{2}^{n-2}=M{2}^n+3M{2}^n+\frac{9}{4}M{2}^n$

Ubestemte koeffisienters metode tilsier da, når vi sammenligner den " nye" venstresiden i ligningen med høyresiden, at

$M+3M+\frac{9}{4}M=1$
$\frac{25}{4}M=1$
$M=\frac{4}{25}$

[Shira]

hm javel, men hva er det du egentlig gjør i den omskrivingen, jeg trodde kansje man måtte dele hele ligningen på noe, hva er felles faktor? jeg skjønner at du må gjøre det slik at det blir en felles faktor men skjønner ikke hvordan jeg du ser hva du skal gjøre

[Cauchy]

Det jeg ser er at for å sammenligne koeffisientene på venstre side med høyre side, så må det stå $2^n$ bak alle ledd. Så da gjør jeg slik at det blir det

[Shira]

ja men jeg er ute etter det grunleggende på hvordan du fikk det til. det forvirrer meg at det er n-1 og n-2 hvordan får jo bort disse. hva er du ganger med...

[Markonan]

La oss si at n er 4.

Da er:
$2^n=2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$
$2^{n-1}=2^3=2\cdot 2\cdot 2$
$2^{n-2}=2^2=2\cdot 2$

Når du da har:
$M{2}^n+6M{2}^{n-1}$

Har du egentlig, hvis n = 4:
$M2\cdot 2\cdot 2\cdot 2+6M2\cdot 2\cdot 2$

For å få nok 2 tall bak 6M leddet, "stjeler" du en 2 gange fra 6M, slik at det blir 3M som står igjen, og har:
$M2\cdot 2\cdot 2\cdot 2+3M2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$

Som igjen er lik:
$M{2}^n+3M{2}^n$

Det er tilsvarende med det siste leddet!

[Shira]

TUSEN TAKK, nå skjønte jeg det. igjen så er det grunnleggende greier som blir hoppet over som jeg ikke forstår sånn uten videre.

Åh nå ble jeg glad, plaget meg virkelig at jeg ikke klarte se det! takk