Areal

[thunderstone]

Finn arealet av rotasjonsflaten du får ved å ved å rotere den gitte kurven:
r=[t,t^2] for 0<t<2 om y-akse..

Tror jeg skal bruke fomelen:
A=2 [symbol:pi] [symbol:integral] |x(t)|*|r`(t)|
, men jeg får ikke til utregningen..

[Janhaa]

Finn arealet av rotasjonsflaten du får ved å ved å rotere den gitte kurven:
r=[t,t^2] for 0<t<2 om y-akse..
Tror jeg skal bruke fomelen:
A=2 [symbol:pi] [symbol:integral] |x(t)|*|r`(t)|
, men jeg får ikke til utregningen..

i)

|x| = [symbol:rot] (t[sup]2[/sup]) = t og

[tex]\vec r^,=[1,2t]\;og\;[/tex][tex]|\vec r^,|=sqrt{1+4t^2}[/tex]

[tex]A=2\pi \int_0^2 ({t }\cdot sqrt{1+4t^2}) dt[/tex]

sett u = (1 + 4t[sup]2[/sup]), du = 8t dt


[tex]A\;=\;{\pi \over 4}\int _1^{17} sqrt u du[/tex]

[tex] A\;=\;{\pi\over 6}[u^{3\over 2}]_1^{17}[/tex]

[tex] A\;=\;{\pi\over 6}(17^{3\over 2}\;-\;1)[/tex]




ii)
kurva er jo ei parabel, y(x) = x[sup]2[/sup], hvis overflateareal er gitt ved;

[tex]O_y={2\pi} \int_0^4 (x\cdot sqrt{1+(y^,)^2}dx[/tex]

[tex]O_y={2\pi} \int_0^4 (x\cdot sqrt{1+4x^2})dx[/tex]

[tex]O_y={\pi\over 6}(17^{3\over 2}-1)[/tex]

[thunderstone]

Jeg hadde bare et lite sp.mål til her, som jeg ikke får til
Skal regne ut integralet til

[symbol:integral] a [symbol:rot] (2-2cos(t)) dt

[thunderstone]

Noen som har noen tips??

[daofeishi]

Husk at [tex]\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}[/tex]

Dermed:

[tex]\int a \sqrt{2-2 \cos(t)} \ {\rm d}t \qquad = \qquad a\int \sqrt{4\sin^2(\frac{t}{2})} \ {\rm d}t \qquad = \qquad 2a\int \sin(\frac{t}{2}) \ {\rm d}t \qquad = \qquad -4a\cos(\frac{t}{2}) + C[/tex]

[thunderstone]

Oppgaven er alså:
2 [symbol:pi]
L= [symbol:integral] a [symbol:rot] (2-2cost)dt
0

I fasiten får de 8a..

Glemte å sette på grensene på forrige innlegg..
Kan du regne det ut for meg??

[daofeishi]

Å sette på grensene burde da ikke være et problem?

[tex]-4a[\cos ( \frac{t}{2} )] _0 ^{2 \pi} = -4a[\cos (\pi) - \cos(0)] = 8a[/tex]

[Janhaa]

[/quote]="daofeishi"]Husk at [tex]\cos^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}[/tex]
[/quote]

NB

Husk at

[tex]cos^2(x)={1\over 2}(1+cos(2x))[/tex]

[Cauchy]

Kan jo greit innse at svaret ikker 0 iallefall, siden integranden ikke-negativ, og ikke identisk lik 0 på intervallet.

Feilen ligger nok der jahaa sier

[daofeishi]

Stemmer det. Feilen er rettet.

[thunderstone]

takk for svarene..
lurte bare på en sak til:
Sett opp et integra som gir areal av roasjonsflaten du år ved å rotere den gitte kurven om aksen x=-1

r=[t,e^2t], 0<t<ln2

[Janhaa]

takk for svarene..
lurte bare på en sak til:
Sett opp et integra som gir areal av roasjonsflaten du år ved å rotere den gitte kurven om aksen x=-1
r=[t,e^2t], 0<t<ln2

Gjør om til kartesiske koordinater;


[tex]\vec r=[t,e^{2t}],\; 0 \leq t \leq 2[/tex]

og x = t og y = e[sup]2t[/sup]
altså
[tex]y = e^{2x}[/tex]

grensene t[sub]1[/sub]=0 svarer til y[sub]1[/sub]=1 og
t[sub]2[/sub]=ln(2) svarer til y[sub]2[/sub]= e[sup]2ln(2)[/sup]

[tex]O_{x=-1}\;=\;2\pi \int_1^{4} (x+1)\cdot sqrt {1+(y^,)^2}dx[/tex]

[tex](y^,)=4e^{4x}[/tex]

[tex]O_{x=-1}\;=\;2\pi \int_1^{4} (x+1)\cdot sqrt {1+4e^{4x}}dx[/tex]