Gitt det A =
[...x......x[sup]2[/sup].......y........1...]
[..-1......1......7/2......1...]
[...4.....16.......1........1...]
[...1......1.....-1/2.....1...]
= 0
Hvordan løse opp utrykket for å finne y(x)?
Determinantuttrykk - y som funk. av x?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Erstatt rad(i) med rad(i) - rad(4) for hver i = 1, 2, 3. Disse 3 elementære radoperasjonene gir oss matrisen
[x - 1 ... x[sup]2[/sup] - 1... y + 1/2 ... 0]
[..-2 ......... 0 ........ 4 ........ 0 ]
[.. 3 ........ 15 ...... 3/2 ...... 0 ]
[.. 1 ......... 1 ...... -1/2 ...... 1 ]
og forandrer ikke verdien av det(A). La B = (b[sub]ij[/sub]) være matrisen ovenfor. Da er det(A) lik b[sub]44[/sub] multiplisert med kofaktoren C[sub]44[/sub] = (-1)[sup]4+4[/sup] * det(M), der M er 3x3-matrisa som gjenstår når 4. rad og 4. kolonne er fjernet fra B. Ergo blir
det(A) = det(M) = 12(x[sup]2[/sup] - 1) - 30(y + 1/2) + 3(x[sup]2[/sup] - 1) - 60(x - 1) = 15(x[sup]2[/sup] - 4x + 2 - 2y).
Ergo blir det(A)=0 hvis og bare hvis
[tex]y \;=\; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2 \:-\: 2x \:+\: 1.[/tex]
[x - 1 ... x[sup]2[/sup] - 1... y + 1/2 ... 0]
[..-2 ......... 0 ........ 4 ........ 0 ]
[.. 3 ........ 15 ...... 3/2 ...... 0 ]
[.. 1 ......... 1 ...... -1/2 ...... 1 ]
og forandrer ikke verdien av det(A). La B = (b[sub]ij[/sub]) være matrisen ovenfor. Da er det(A) lik b[sub]44[/sub] multiplisert med kofaktoren C[sub]44[/sub] = (-1)[sup]4+4[/sup] * det(M), der M er 3x3-matrisa som gjenstår når 4. rad og 4. kolonne er fjernet fra B. Ergo blir
det(A) = det(M) = 12(x[sup]2[/sup] - 1) - 30(y + 1/2) + 3(x[sup]2[/sup] - 1) - 60(x - 1) = 15(x[sup]2[/sup] - 4x + 2 - 2y).
Ergo blir det(A)=0 hvis og bare hvis
[tex]y \;=\; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2 \:-\: 2x \:+\: 1.[/tex]