dubbel integral

[flybyme]

hej

har precis börjat med dubbel integraler och undrar om det är någon som kan visa hur man ska lösa

[tex]\int \int_{b^2 < 2a} \frac{dadb}{(1 + a^2 + b^2)^2}[/tex]

tack så mycket

[fish]

Dette var da et ganske tøft dobbeltintegral for en som nettopp har startet med dette. Det viktigste ved dobbeltintegrasjon er å beskrive integrasjonsområdet korrekt. Du har oppgitt [tex]b^2<2a[/tex]. Integranden indikerer at man bør bruke polarkoordinater, så man bør nok innføre [tex]a=r\cos\theta[/tex] og [tex]b=r\sin\theta[/tex]. Dette gir områdebeskrivelsen [tex]r^2\sin^2\theta<2r\cos\theta[/tex], slik at [tex]r<\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}[/tex] og [tex]-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}[/tex] (tegn grensekurven for å se dette).

Vi får altså følgende integral:

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}}\frac{r}{(1+r^2)^2}\;dr d\theta[/tex]

Forsøk å regne videre herfra. Svaret ser ut til å bli [tex]\frac{\sqrt{2}}{4}\pi[/tex]

[Janhaa]

Hejsann Svensson;

er ikke helt sikker selv, og tar forbehold.
Men hva med å late som om det står x og y, og innføre polarkoordinater : ALTSÅ


[tex]I\,=\,\int_{x^2<2y}\int\frac {\rm dx \rm dy}{(1+x^2+y^2)^2[/tex]

under er jeg usikker på grensene, men hvis theta går fra 0 til 2 [symbol:pi] :

[tex]I\,=\,\int_R\int \frac{r\,dr\,d\theta }{(1+r^2)^2}[/tex]

Videre settes u = 1 + r[sup]2[/sup]

slik at 0,5du = r dr

[tex]I\,=\,2\pi \cdot (0,5)\int \frac{du }{(u)^2}\,=\,\pi \int u^{-2}\,du\,=\,\pi\cdot (-{1\over u})[/tex]

men som sagt - er jeg usikker på grensene. Andre får korrigere/supplere meg

[flybyme]

Dette var da et ganske tøft dobbeltintegral for en som nettopp har startet med dette. Det viktigste ved dobbeltintegrasjon er å beskrive integrasjonsområdet korrekt. Du har oppgitt [tex]b^2<2a[/tex]. Integranden indikerer at man bør bruke polarkoordinater, så man bør nok innføre [tex]a=r\cos\theta[/tex] og [tex]b=r\sin\theta[/tex]. Dette gir områdebeskrivelsen [tex]r^2\sin^2\theta<2r\cos\theta[/tex], slik at [tex]r<\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}[/tex] og [tex]-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}[/tex] (tegn grensekurven for å se dette).

Vi får altså følgende integral:

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}}\frac{r}{(1+r^2)^2}\;dr d\theta[/tex]

Forsøk å regne videre herfra. Svaret ser ut til å bli [tex]\frac{\sqrt{2}}{4}\pi[/tex]

hmm.. skulle du kunna visa resten av dina beräkningar, för hur du fick fram det där svaret? jag tror mig ha fått fram ett svar [tex]\frac{\pi}{2\sqrt 2}[/tex], men det verkar ju inte stämma med ditt.

[TurboN]

Dette var da et ganske tøft dobbeltintegral for en som nettopp har startet med dette. Det viktigste ved dobbeltintegrasjon er å beskrive integrasjonsområdet korrekt. Du har oppgitt [tex]b^2<2a[/tex]. Integranden indikerer at man bør bruke polarkoordinater, så man bør nok innføre [tex]a=r\cos\theta[/tex] og [tex]b=r\sin\theta[/tex]. Dette gir områdebeskrivelsen [tex]r^2\sin^2\theta<2r\cos\theta[/tex], slik at [tex]r<\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}[/tex] og [tex]-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}[/tex] (tegn grensekurven for å se dette).

Vi får altså følgende integral:

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}}\frac{r}{(1+r^2)^2}\;dr d\theta[/tex]

Forsøk å regne videre herfra. Svaret ser ut til å bli [tex]\frac{\sqrt{2}}{4}\pi[/tex]

hmm.. skulle du kunna visa resten av dina beräkningar, för hur du fick fram det där svaret? jag tror mig ha fått fram ett svar [tex]\frac{\pi}{2\sqrt 2}[/tex], men det verkar ju inte stämma med ditt.

[tex]\frac{\pi*2}{2\sqrt 2*2}[/tex] Kan utvide en brøk med samme faktor i nevner og teller

[tex]\frac{2\pi}{4\sqrt 2}=\frac{2^1*2^{-1\over2}\pi}{4}=\frac{2^{1\over2}\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}[/tex]