Integral ved hjelp av substitusjon

[alexelias]

Hvordan kan jeg integrere dette ved hjelp av substitusjon? Jeg kom så langt:

[tex]\int tanx dx[/tex] = [tex]\int \frac {sinx}{cosx} dx[/tex]

Setter u = (cosx) ,

[tex]\frac {du}{dx} = sinx[/tex] ,

[tex]\int \frac {sinx}{cosx} dx[/tex] = [tex]\int \frac {1}{cosx} * sinx dx[/tex] = [tex]\frac {1}{u} du[/tex] = [tex] ln|u| + C = ln|cosx| + C[/tex] = [tex] ln(cosx) + C [/tex]

i fasiten er ikke dette riktig.
riktig svar er

[tex] -ln(cosx) + C[/tex]

hvorfor det?

[Janhaa]

Husk at:

[tex]{d\over dx}(\sin(x))\,=\,\cos(x)[/tex]

og

[tex]{d\over dx}(\cos(x))\,=\, -sin(x)[/tex]

[alexelias]

hmm, skjønner ikke helt

[Janhaa]

hmm, skjønner ikke helt

Går litt tregt her, sliter med virus på PC;

Du har jo satt (cos(x))' = sin(x), som ikke er riktig.
Fordi (cos(x))' = - sin(x)

Altså:
[tex]I\,=\,-ln|cos(x)|\,+\,C[/tex]

Fordi, deriver I og sjekk om den er lik integranden, dvs tan(x) ?

(- ln|cos(x)|)' = (-1/cos(x))*(-sin(x)) = sin(x)/cos(x) = tan(x)

[alexelias]

å ja så klart, hjernen er litt treg på denne tiden. hehe, takk for hjelpen!

[alexelias]

Men hva om det er bestemt integral. (pi)/3 - 0.

-ln(cos(pi/3)) - (-lncos0 ) = -ln 1/2 + ln1 = ln1.5

er dette rett?

På fasiten står det ln2.

[Janhaa]

Men hva om det er bestemt integral. (pi)/3 - 0.
-ln(cos(pi/3)) - (-lncos0 ) = -ln 1/2 + ln1 = ln1.5
er dette rett?
På fasiten står det ln2.

Du er litt trøtt nå - tror jeg:

[tex]I\,=\,[-\ln(\cos(x))]_0^{\pi/3}\,=\,-\ln({1\over 2})\,+\,\ln(1)[/tex]

husk at ln(1) = 0

[tex]I\,=\,-(\ln(1)\,-\,\ln(2))\,=\,\ln(2)[/tex]