Har gjort litt trigonometrioppgaver i det siste og jeg har lagt merke til at fasiten av og til gjør noe "rart". F.eks blir [tex] sin 45=\frac12 \sqrt2[/tex]. Er det noen som kan gi en god forklaring på hvorfor dette stemmer?
Jeg vet at [tex] sin 60=\frac12 \sqrt3[/tex] kan vises med en likesidet-trekant, er det en lignende forklaring på spm mitt ovenfor? Og er det andre sinus- og cosinusverdier som kan uttrykes på en lignende måte?
Takker for alle svar!
Sinusverdier uttrykt ved kvardratrot
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Du har en rettvinklet trekant der to vinkler er 45 grader. Siden begge vinklene er 45 grader, er trekanten også likebeinet. Altså er begge katetene like store.
Kall katetene for x. Du vet at hypotenusen skal være lik 1, siden hypotenusen er radien i enhetssirkelen. Av pytagoras har vi
[tex]sqrt{x^2 + x^2} = 1[/tex]
[tex]x^2 + x^2 = 1[/tex]
[tex]2x^2 = 1[/tex]
[tex]x^2 = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}[/tex]
Kall katetene for x. Du vet at hypotenusen skal være lik 1, siden hypotenusen er radien i enhetssirkelen. Av pytagoras har vi
[tex]sqrt{x^2 + x^2} = 1[/tex]
[tex]x^2 + x^2 = 1[/tex]
[tex]2x^2 = 1[/tex]
[tex]x^2 = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}[/tex]
Dette er snakk om eksakt verdier og det er veldig nyttig å kunne disse i hodet.
du vet sin til en vinkel er det samme som motstående katet delt på hypotenusen i en rettvinklet trekant. Siden det er en rettvinklet trekant og den ene vinkelen er 45 betyr det at den andre er 180-90-45=45 den også. Hvis vinkelene er like store betyr det at du har en likebeint, rettvinklet trekant.
hvis vi kaller motstående og hosliggende katet for x (samme variabel pga de er like lange) og hypotenusen for y:
Bruker pytagoras:
[tex]y=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x[/tex]
Sin 45 = [tex]\frac{motstaaende\;katet}{hypotenusen}=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1*\sqrt{2}}{\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
du vet sin til en vinkel er det samme som motstående katet delt på hypotenusen i en rettvinklet trekant. Siden det er en rettvinklet trekant og den ene vinkelen er 45 betyr det at den andre er 180-90-45=45 den også. Hvis vinkelene er like store betyr det at du har en likebeint, rettvinklet trekant.
hvis vi kaller motstående og hosliggende katet for x (samme variabel pga de er like lange) og hypotenusen for y:
Bruker pytagoras:
[tex]y=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x[/tex]
Sin 45 = [tex]\frac{motstaaende\;katet}{hypotenusen}=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1*\sqrt{2}}{\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
