Spiralbane - 3MX

[pevik]

Ein partikkel følgjer ei spiralbane på overflata av ein sylinder.

Posisjonsvektoren til partikkelen er

r(t) = [2cos t,2sin t,t]

Tida t er målt i sekund, og avstandar er målte i meter.

1) Bestem fartsvektoren v(t) og akselerasjonsvektoren a(t)

2) Finn ved rekning v(t) = |v(t)| og a(t) = |a(t)|. Kommenter svaret.


3) Rekn ut v(t) * a(t). Kommenter svaret.

4) Kor langt har partikkelen bevegt seg på dei fire første sekunda?


Vonar på svar

[zell]

1)

[tex]v(t) = r^,(t) = [-2\sin{t},2\cos{t},1][/tex]

[tex]a(t) = v^,(t) = [-2\cos{t},-2\sin{t},0][/tex]

2) v(t) er jo en vektorfunksjon, kan ikke se at den noen gang vil være "lik" farten til en partikkel i et gitt tidspunkt, som |v(t)| beskriver. Samme med a(t) = |a(t)|

3)

[tex]v(t) \ \cdot \ a(t) = [-2\sin{t},2\cos{t},1] \ \cdot \ [-2\cos{t},-2\sin{t},0] = (-2\sin{t} \ \cdot \ -2\cos{t}) + (2\cos{t} \ \cdot \ -2\sin{t}) + 0 = (2\sin{(2t)}) + (-2\sin{2t}) + 0 = 0[/tex]

4)

Integral

Strekning = areal under fartsgraf.

[tex]s = \int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\rm{d}t[/tex]

[tex]s = \int_0^4 \sqrt{(-2\sin{t})^2 + (2\cos{t})^2 + 1}\rm{d}t[/tex]

Fyr den inn på kalkis eller noe sånt, i og med at det ikke står noe om at det skal løses ved regning.

[tex]s = 4\sqrt{5}[/tex]

[pevik]

Tusen takk

[mrcreosote]

1)


[tex]s = \int_0^4 \sqrt{(-2\sin{t})^2 + (2\cos{t})^2 + 1}\rm{d}t[/tex]

Fyr den inn på kalkis eller noe sånt, i og med at det ikke står noe om at det skal løses ved regning.

[tex]s = 4\sqrt{5}[/tex]

Venn deg av med kalkulatoren til alt mulig dumt.

[tex]s = \int_0^4 \sqrt{(-2\sin{t})^2 + (2\cos{t})^2 + 1}\rm{d}t = \int_0^4 \sqrt{1+4(\sin^2 t + \cos^2 t)} dt= \int_0^4 \sqrt5 dt = 4\sqrt5[/tex]

[zell]

Joda, sant at man skal vende seg av kalkulatoren. Men i enkelte tilfeller bør man bruke den, som f.eks. på en eksamen hvor det ikke er spesifisert at oppgaven skal løses ved regning. Slik at man ikke sløser bort tid på en oppgave som man egentlig ikke skulle bruke så veldig lang tid på. I dette tilfellet tok det jo ikke så veldig lang tid å integrere, men..

[daofeishi]

Joda, sant at man skal vende seg av kalkulatoren. Men i enkelte tilfeller bør man bruke den, som f.eks. på en eksamen hvor det ikke er spesifisert at oppgaven skal løses ved regning. Slik at man ikke sløser bort tid på en oppgave som man egentlig ikke skulle bruke så veldig lang tid på. I dette tilfellet tok det jo ikke så veldig lang tid å integrere, men..

Man har et hav av tid på norske vgs-eksamener. Ingen grunn til å spare på tid ved å tillegge seg stygge uvaner.

[sEirik]

Latskap er jo en viktig egenskap for matematikere...
Tenk bare hvordan vi hadde summert tallene fra 1 til 100 i dag hvis det ikke var for at Gauss var lat.

[Magnus]

Jaja. Nå får man velge selv om man ønsker å tro på den historien sEirik; )

[mrcreosote]

Åssen kom du egentlig fram til svaret, zell? Korriger meg om jeg tar feil, men jeg tror ikke man har lov å bruke kalkulatorer som gir svaret 2sqrt5 på videregående. Og hvis du er av typen som gjenkjenner desimalene til rota av 80 har du uansett allerede løst oppgava uten bruk av kalkulator.

[daofeishi]

Latskap er jo en viktig egenskap for matematikere...
Tenk bare hvordan vi hadde summert tallene fra 1 til 100 i dag hvis det ikke var for at Gauss var lat.

Latskap, nei. Forenkling og simplifisering - Ja. Vil du kalle Gauss, Euler, eller kanskje det beste eksempelet - Erdős - late?