Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Ved et samlebånd som produserer påskegodt vil man fra tid til annen fågodterier som har en feil. I løpet av en times produksjon vil i gjennomsnitt 3 stykk ha feil. Du observerer samlebåndet i 40 min. a) Hva er sannsynligheten for at det i løpet av denne tiden produseres 4 godterier med feil?
b)[/b] Hva er sannsynligheten for at du i løpet av en uke(8.5=40) produserer mer enn 140 godterier med feil?
c) Forklar hvorfor du i a vil bruke Poissonfordelingen og i b bruke normalfordeling.
a) Bruk poissonfordeling med [tex]\lambda=\frac{40}{60}\cdot 3=2[/tex], slik at den søkte sannsynligheten blir [tex]e^{-2}\cdot \frac{2^4}{4!}[/tex]
b) Bruk normalfordeling med [tex]\mu=40\cdot 3=120[/tex] og [tex]\sigma=\sqrt{120}[/tex]. Tilnærmet vil sannsynligheten være (uten heltallskorreksjon):
[tex]1-G\left(\frac{140-120}{\sqrt{120}}\right)[/tex], der [tex]G[/tex] er fordelingsfunksjonen til standardnormal
c) Forekomstene er tilfeldige i tid og det finnes ikke noe naturlig "tak" på antallet. Derfor benyttes poissonfordelingen i a).
I b) tilnærmer man med normalfordelingen siden [tex]\lambda>10[/tex] (vanlig krav). Dessuten er det tungt å regne eksakt hvis man ikke har datamaskin/kraftig kalkulator. Det er sentralgrenseteoremet som ligger under og rettferdiggjør tilnærmingen.
La [tex]F_n[/tex] være antall påskegodt med feil funnet i et intervall på n minutter.
[tex]F_n \sim Po(\frac{n}{20})[/tex]
a) [tex]p(F_{40} = 4) = \frac{2^4e^{-2}}{4!}[/tex]
b og c) Du kan tilnærme en poissonfordeling med en normalfordeling for større p-verdier. Gjennomsnitt og varianse for denne distribusjonen er lik parameteren for poissonfordelingen.
